Hitungan

Daya dukung suatu spesies adalah populasi maksimum dari spesies yang dapat dipertahankan oleh lingkungan tanpa batas waktu, mengingat sumber daya yang tersedia. Ini bertindak sebagai batas atas pada fungsi pertumbuhan populasi. Pada grafik, dengan asumsi bahwa fungsi pertumbuhan populasi digambarkan dengan variabel independen (biasanya t dalam kasus pertumbuhan populasi) pada sumbu horizontal, dan variabel dependen (populasi, dalam hal ini f (x)) pada sumbu vertikal , daya dukung akan menjadi asimtot horisontal. Dalam peristiwa normal, kecuali keadaan ekstrim, populasi tidak akan melampaui daya dukung. Namun, beberapa kead Baca lebih lajut »

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Pertama-tama kita gantikan: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Melakukan substitusi kedua: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Membagi menggunakan fraksi parsial: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Sekaran Baca lebih lajut »

Dalam buku teks yang saya gunakan (Stewart Calculus) titik kritis f = angka kritis untuk f = nilai x (variabel independen) yaitu 1) dalam domain f, di mana f 'adalah 0 atau tidak ada. (Nilai x yang memenuhi kondisi Teorema Fermat.) Titik belok untuk f adalah titik pada grafik (memiliki koordinat x dan y) di mana konkavitas berubah. (Orang lain tampaknya menggunakan terminologi lain. Saya tidak tahu kalau mereka keliru atau hanya memiliki terminologi yang berbeda .. Tetapi buku-buku teks yang saya gunakan di AS sejak awal 80-an semuanya menggunakan definisi ini.) Baca lebih lajut »

Saya akan mengatakan bahwa suatu fungsi diskontinyu pada a jika kontinu dekat a (dalam interval terbuka yang mengandung a), tetapi tidak pada a. Tetapi ada definisi lain yang digunakan. Fungsi f kontinu pada angka a jika dan hanya jika: lim_ (xrarra) f (x) = f (a) Ini mensyaratkan bahwa: 1 "" f (a) harus ada. (a ada dalam domain f) 2 "" lim_ (xrarra) f (x) harus ada 3 Angka dalam 1 dan 2 harus sama. Dalam pengertian yang paling umum: Jika f tidak kontinu pada a, maka f tidak kontinu pada a. Beberapa orang kemudian akan mengatakan bahwa f adalah diskontinyu pada jika f tidak kontinu pada yang lain akan m Baca lebih lajut »

Pi / 4 Panjang busur f (x), x dalam [ab] diberikan oleh: S_x = int_b ^ af (x) sqrt (1 + f '(x) ^ 2) dx f (x) = - xsinx + xcos (x-pi / 2) = - xsinx + xsinx = 0 f '(x) = 0 Karena kita hanya memiliki y = 0 kita dapat mengambil panjang garis lurus antara 0 hingga pi / 4 yaitu pi / 4- 0 = pi / 4 Baca lebih lajut »

Ini (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 Metode f (x) = sin ^ 7 (x) Sangat berguna untuk menulis ulang ini sebagai f (x) = (sin (x)) ^ 7 karena ini memperjelas bahwa yang kita miliki adalah fungsi kekuatan 7 ^ (th). Gunakan aturan daya dan aturan rantai (Kombinasi ini sering disebut aturan daya umum). Untuk f (x) = (g (x)) ^ n, turunannya adalah f '(x) = n (g (x)) ) ^ (n-1) * g '(x), Dalam notasi lain d / (dx) (u ^ n) = nu ^ (n-1) (du) / (dx) Dalam kedua kasus, untuk pertanyaan Anda f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) Anda dapat menulis f' (x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) Pada x = - pi / 3, kita memiliki f '(- Baca lebih lajut »

F (x) = ln ((x + 3) / 5) +1 Kita tahu bahwa int1 / xdx = lnx + C, jadi: int1 / (x + 3) dx = ln (x + 3) + C Oleh karena itu f ( x) = ln (x + 3) + C. Kita diberi kondisi awal f (2) = 1. Membuat pergantian yang diperlukan, kita memiliki: f (x) = ln (x + 3) + C -> 1 = ln ((2) +3) + C -> 1-ln5 = C Kita sekarang dapat menulis ulang f (x) sebagai f (x) = ln (x + 3) + 1-ln5, dan itulah jawaban akhir kita. Jika Anda mau, Anda dapat menggunakan properti log natural berikut untuk menyederhanakan: lna-lnb = ln (a / b) Menerapkan ini ke ln (x + 3) -ln5, kami memperoleh ln ((x + 3) / 5) , sehingga kami dapat lebih jauh mengekspres Baca lebih lajut »

Ln (x / 2) +1> Turunan dari lnx = 1 / x maka anti-turunan dari 1 / x "adalah" lnx rArrF (x) = int1 / x dx = lnx + c Untuk menemukan c, gunakan f ( 2) = 1 ln2 + c = 1 c = 1 - ln2 rArr F (x) = lnx + 1-ln2 menggunakan • lnx-lny = ln (x / y) "untuk menyederhanakan" rArr int1 / x dx = ln ( x / 2) +1 Baca lebih lajut »

F (x) = 1 / 3x ^ 3 - 3 / 2x ^ 2 + 13/3 Mengintegrasikan f (x): x ^ 3/3 - 3 / 2x ^ 2 + cf (2) = 1 memungkinkan konstanta integrasi ( c) dapat ditemukan dengan mengevaluasi x = 2, y = 1 rRr 2 ^ 3/3 -3 xx 2 ^ 2/2 + c = 1 rRr 8/3 - 6 + c = 1 rRr c = 1 + 6 - 8/3 = 13/3 rArr f (x) = 1/3 x ^ 3 - 3/2 x ^ 2 + 13/3 Baca lebih lajut »

Saya menemukan: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Kami memecahkan integral yang tidak terbatas: int (x ^ 2 + x-3) dx = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + c dan kemudian kami menggunakan kondisi kami untuk menemukan c: f (2) = 3 = (2 ^ 3) / 3 + (2 ^ 2) / 2- (3 * 2) + c jadi: 3 = 8/3 + 4 / 2-6 + cc = 3-8 / 3-2 + 6 c = 7-8 / 3 = (21-8) / 3 = 13/3 dan akhirnya: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Baca lebih lajut »

F (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 f (x) = intx-3 dx = (x ^ 2) / 2-3x + c Subbing dalam 2, f (2) = ((2) ^ 2) / 2-3 (2) + c = 2-6 + c = -4 + c Karena f (2) = 3, -4 + c = 3 c = 7: .f (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 Baca lebih lajut »

F (x) = xe ^ xe ^ x + 3-e ^ 2 f (x) = intxe ^ xdx, f (2) = 3 kami menggunakan integrasi dengan bagian f (x) = intu (dv) / (dx) dx = uv-intv (du) / (dx) dx dalam kasus ini u = x => (du) / (dx) = 1 (dv) / (dx) = e ^ x => v = e ^ x: .f (x) = xe ^ x-inte ^ xdx f (x) = xe ^ xe ^ x + cf (2) = 3:. f (2) = 3 = 2e ^ 2-e ^ 2 + c c = 3-e ^ 2 f (x) = xe ^ x-e ^ x + 3-e ^ 2 Baca lebih lajut »

Sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) + C Gunakan u ^ 2 = 1 + x ^ 2, x = sqrt (u ^ 2-1) 2u (du) / (dx) = 2x, dx = (udu) / x intsqrt (1 + x ^ 2) / xdx = int ( usqrt (1 + x ^ 2)) / x ^ 2du intu ^ 2 / (u ^ 2-1) du = int1 + 1 / (u ^ 2-1) du 1 / (u ^ 2-1) = 1 / ((u + 1) (u-1)) = A / (u + 1) + B / (u-1) 1 = A (u-1) + B (u + 1) u = 1 1 = 2B, B = 1/2 u = -1 1 = -2A, A = -1 / 2 int1-1 / (2 (u + 1)) + 1 / (2 (u-1)) du = u-1 / 2ln (abs (u + 1)) + 1 / 2ln (abs (u-1)) + C Menempatkan u = sqrt (1 + x ^ 2) kembali memberi: sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln ( abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2 Baca lebih lajut »

(sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13.0.0.0768 ^ c) Untuk set koordinat tertentu (x, y), (x, y) -> (rcostheta, rsintheta) r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) theta = tan ^ -1 (y / x) r = sqrt (13 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (169 + 1) = sqrt (170) = 13.0 theta = tan ^ -1 (1/13) = 0,0768 ^ c (13,1) -> (sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13,0,0.0768 ^ c) Baca lebih lajut »

Ini tidak dapat dijawab tanpa konteks. Berikut adalah beberapa kegunaan dalam matematika. Suatu himpunan memiliki kardinalitas tak terbatas jika dapat dipetakan satu-ke-satu ke bagian yang tepat dari dirinya sendiri. Ini bukan penggunaan tak terhingga dalam kalkulus. Dalam Kalkulus, kami menggunakan "tak terbatas" dalam 3 cara. Notasi interval: Simbol oo (masing-masing -oo) digunakan untuk menunjukkan bahwa suatu interval tidak memiliki titik akhir kanan (masing-masing kiri). Interval (2, oo) sama dengan himpunan x Batas Tanpa Batas Jika batas gagal ada karena x mendekati a, nilai-nilai f (x) meningkat tanpa bata Baca lebih lajut »

Kecepatan sesaat adalah kecepatan di mana suatu benda bergerak tepat pada saat yang ditentukan. Jika saya melakukan perjalanan ke utara tepat pada 10 m / s selama tepat sepuluh detik, lalu berbelok ke barat dan melakukan perjalanan tepat 5 m / s selama sepuluh detik tepat, kecepatan rata-rata saya kira-kira 5,59 m / s dalam arah (kira-kira) utara-oleh-barat laut. Namun, kecepatan sesaat saya adalah kecepatan saya pada titik tertentu: tepat pada lima detik perjalanan saya, kecepatan sesaat saya adalah 10 m / s utara; tepat lima belas detik dalam, itu 5 m / s barat. Baca lebih lajut »

Mari kita bagi interval [a, b] menjadi n sub-terminal dengan panjang yang sama. [a, b] ke {[x_0, x_1], [x_1, x_2], [x_2, x_3], ..., [x_ {n-1}, x_n]}, di mana a = x_0 <x_1 <x_2 < cdots <x_n = b. Kita dapat memperkirakan int_a integral integral ^ bf (x) dx oleh Trapezoid Rule T_n = [f (x_0) + 2f (x_1) + 2f (x_2) + cdots2f (x_ {n-1}) + f (x_n)] { ba} / {2n} Baca lebih lajut »

Aturan L'hopital digunakan terutama untuk menemukan batas sebagai x-> a dari fungsi bentuk f (x) / g (x), ketika batas f dan g pada a sedemikian rupa sehingga f (a) / g (a) menghasilkan bentuk yang tidak ditentukan, seperti 0/0 atau oo / oo. Dalam kasus seperti itu, seseorang dapat mengambil batas turunan dari fungsi-fungsi tersebut sebagai x-> a. Jadi, seseorang akan menghitung lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)), yang akan sama dengan batas fungsi awal. Sebagai contoh fungsi di mana ini mungkin berguna, pertimbangkan fungsi sin (x) / x. Dalam hal ini, f (x) = sin (x), g (x) = x. Sebagai x-> 0, sin (x Baca lebih lajut »

Aturan l'Hopital Jika {(lim_ {x to a} f (x) = 0 dan lim_ {x to a} g (x) = 0), (atau), (lim_ {x ke a} f (x) = pm infty dan lim_ {x to a} g (x) = pm infty):} lalu lim_ {x to a} {f (x)} / {g (x)} = lim_ {x to a} {f '( x)} / {g '(x)}. Contoh 1 (0/0) lim_ {x to 0} {sinx} / x = lim_ {x to 0} {cosx} / 1 = {cos (0)} / 1 = 1/1 = 1 Contoh 2 (infty / infty) lim_ {x to infty} {x} / {e ^ x} = lim_ {infty} {1} / {e ^ x} = 1 / {e ^ {infty}} = {1} / {infty} = Saya harap ini bermanfaat. Baca lebih lajut »

X = -4 dan -8/5 Jadi, asymptote vertikal adalah garis yang meluas secara vertikal hingga tak terbatas. Jika kita perhatikan, itu menyiratkan bahwa koordinat y dari kurva banyak mencapai Infinity. Kita tahu bahwa infinity = 1/0 Jadi, bila dibandingkan dengan f (x), ini menyiratkan bahwa penyebut f (x) harus nol. Maka, (5x + 8) (x + 4) = 0 Ini adalah persamaan kuadrat yang akarnya adalah -4 dan -8/5. Karenanya, pada x = -4, -8/5 kita memiliki asimtot vertikal Baca lebih lajut »

Sec (5x) tan (5x) * 5 Turunan dari sec (x) adalah sec (x) tan (x). Namun karena sudutnya 5x dan bukan hanya x, kami menggunakan aturan rantai. Jadi kita kalikan lagi dengan turunan dari 5x yaitu 5. Ini memberi kita jawaban akhir kita sebagai sec (5x) tan (5x) * 5 Harapan itu membantu! Baca lebih lajut »

Jika Anda lebih suka notasi Leibniz, turunan kedua dilambangkan (d ^ 2y) / (dx ^ 2). Contoh: y = x ^ 2 dy / dx = 2x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2 Jika Anda menyukai notasi bilangan prima, maka turunan kedua dilambangkan dengan dua tanda utama, sebagai lawan dari satu tanda dengan yang pertama turunan: y = x ^ 2 y '= 2x y' '= 2 Demikian pula, jika fungsi tersebut dalam notasi fungsi: f (x) = x ^ 2 f' (x) = 2x f '' (x) = 2 Kebanyakan orang akrab dengan kedua notasi, jadi biasanya tidak masalah notasi mana yang Anda pilih, asalkan orang dapat memahami apa yang Anda tulis. Saya sendiri lebih suka notasi Leibn Baca lebih lajut »

Fungsi rasional adalah di mana ada x di bawah bilangan pecahan. Bagian di bawah bilah disebut penyebut. Ini memberikan batasan pada domain x, karena penyebut mungkin tidak berfungsi menjadi 0 Contoh sederhana: y = 1 / x domain: x! = 0 Ini juga mendefinisikan asimtot vertikal x = 0, karena Anda dapat membuat x sedekat ke 0 seperti yang Anda inginkan, tetapi tidak pernah mencapainya. Itu membuat perbedaan apakah Anda bergerak ke arah 0 dari sisi positif dari dari negatif (lihat grafik). Kita katakan lim_ (x-> 0 ^ +) y = oo dan lim_ (x-> 0 ^ -) y = -oo Jadi ada grafik diskontinuitas {1 / x [-16.02, 16.01, -8.01, 8.01]} Baca lebih lajut »

F '(x) = 72x-18 Secara umum, aturan produk menyatakan bahwa jika f (x) = g (x) h (x) dengan g (x) dan h (x) beberapa fungsi x, maka f' ( x) = g '(x) h (x) + g (x) h' (x). Dalam hal ini g (x) = 6x-4 dan h (x) = 6x +1, jadi g '(x) = 6 dan h' (x) = 6. Oleh karena itu f (x) = 6 (6x + 1) +6 (6x-4) = 72x-18. Kita dapat memeriksa ini dengan mengerjakan produk g dan h terlebih dahulu, dan kemudian membedakan. f (x) = 36x ^ 2-18x-4, jadi f '(x) = 72x-18. Baca lebih lajut »

Ekstrem absolut dari suatu fungsi dalam interval tertutup [a, b] dapat berupa atau ekstrema lokal dalam interval itu, atau titik-titik yang ascissae-nya adalah a atau b. Jadi, mari kita temukan ekstrema lokal: y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2. y '> = 0 jika -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1. Jadi fungsi kita menurun di [-2, -1) dan di (1,2] dan berkembang di (-1,1), sehingga titik A (-1-1) adalah minimum lokal dan titik B (1,1) adalah maksimum lokal. Sekarang mari kita cari ordinasi poin pada ekstrem interval: y (-2) = - 4 / 5rArrC Baca lebih lajut »

Titik minimum pada (1 / e, -1 / e) diberikan f (x) = x * ln x mendapatkan turunan pertama f '(x) kemudian sama dengan nol. f '(x) = x * (1 / x) + ln x * 1 = 0 1 + ln x = 0 ln x = -1 e ^ -1 = xx = 1 / e Memecahkan untuk f (x) pada x = 1 / ef (x) = (1 / e) * ln (1 / e) f (x) = (1 / e) * (- 1) f (x) = - 1 / e jadi intinya (1 / e) , -1 / e) terletak di kuadran ke-4 yang merupakan titik minimum. Baca lebih lajut »

(ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4)))) Mari kita menulis ulang sebagai: [(xln (x ^ 4)) ^ (1/2)] 'Sekarang kita harus mengambil turunan dari bagian luar ke bagian dalam menggunakan aturan rantai. 1/2 [xln (x ^ 4)] ^ (- 1/2) * [xln (x ^ 4)] 'Di sini kami mendapatkan turunan dari produk 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [(x ') ln (x ^ 4) + x (ln (x ^ 4))'] 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [1 * ln (x ^ 4) + x (1 / x ^ 4 * 4x ^ 3)] Hanya menggunakan aljabar dasar untuk mendapatkan versi yang disamping: 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [ ln (x ^ 4) +4] Dan kami mendapatkan solusinya: (ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4) Baca lebih lajut »

Fungsi jarak adalah: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Mari kita memanipulasi ini. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Karena antiderivative pada dasarnya adalah integral tak terbatas, ini menjadi jumlah tak terbatas dari dx kecil tak terhingga: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx yang kebetulan merupakan rumus untuk panjang lengkung dari fungsi apa pun yang dapat Anda kelola secara terintegrasi setelah manipulasi. Baca lebih lajut »

Saya merasa lebih mudah untuk memikirkan ini dengan melihat turunannya terlebih dahulu. Maksud saya: apa, setelah dibedakan, akan menghasilkan konstanta? Tentu saja, variabel tingkat pertama. Misalnya, jika diferensiasi Anda menghasilkan f '(x) = 5, terbukti bahwa antiderivatifnya adalah F (x) = 5x Jadi, antiderivatif konstanta adalah kali variabel yang dipermasalahkan (baik itu x, y, dll. .) Kita dapat mengatakannya secara matematis: intcdx <=> cx Perhatikan bahwa c adalah mutiplying 1 pada integral: intcolor (hijau) (1) * cdx <=> cx Itu berarti variabel derajat pertama dibedakan: f (x ) = x ^ warna (hijau Baca lebih lajut »

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) unit. > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9/16 theta ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Arclength diberikan oleh: L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta Sederhanakan: L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Dari simetri: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Terapkan subtitusi theta = tanphi: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi Ini adalah integral yang diketahui: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Membalikkan substitusi: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi Masukkan batas integrasi: Baca lebih lajut »

Sekitar 27.879 Ini adalah metode garis besar. Penggilingan beberapa pekerjaan telah dilakukan oleh komputer. Panjang busur s = int dot s dt dan dot s = sqrt (vec v * vec v) Sekarang, untuk vec r = 4 theta hat r vec v = dot r hat r + r dot theta hat theta = 4 dot theta hat r + 4 theta dot theta hat theta = 4 dot theta (hat r + theta hat theta) Jadi dot s = 4 dot theta sqrt (1 + theta ^ 2) Panjang busur s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2 ) sqrt (1 + theta ^ 2) dot theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta] _ (- pi / 4) ^ (pi) solusi komputer. Lihat Youtube dit Baca lebih lajut »

Panjang Arc ~~ 2.42533 (5dp) Panjang arc negatif karena batas bawah 1 lebih besar dari batas atas ln2 Kami memiliki fungsi vektor parametrik, yang diberikan oleh: bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> Untuk menghitung panjang busur, kita akan memerlukan turunan vektor, yang dapat kita hitung menggunakan aturan produk: bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> Lalu kita menghitung besarnya vektor turunan: | bb ul r '(t) | = sqr Baca lebih lajut »

Sqrt (3) Kami mencari panjang busur dari fungsi vektor: bb (ul r (t)) = << t, t, t >> untuk t di [1,2] Yang dapat dengan mudah dievaluasi menggunakan: L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || Jadi kita menghitung turunannya, bb (ul (r ') (t)): bb (ul r' (t)) = << 1,1,1 >> Jadi kita mendapatkan panjang busur: L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt = [sqrt (3) t] _1 ^ 2 = sqrt (3) (2-1) = sqrt (3) Hasil sepele ini tidak mengejutkan karena persamaan aslinya adalah garis lurus. Baca lebih lajut »

V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) Untuk menghitung volume ini kita dalam beberapa hal akan memotongnya menjadi irisan (sangat tipis). Kami membayangkan wilayah, untuk membantu kami dalam hal ini, saya telah melampirkan grafik di mana wilayah tersebut adalah bagian di bawah kurva. Kami mencatat bahwa y = x ^ 2-1 melintasi garis x = 5 di mana y = 24 dan melintasi garis y = 0 di mana x = 1 grafik {x ^ 2-1 [1, 5, -1, 24] } Saat memotong wilayah ini dalam irisan horizontal dengan tinggi dy (tinggi sangat kecil). Panjang irisan ini sangat tergantung pada koordinat y. untuk menghitung panjang ini kita perlu Baca lebih lajut »

Dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ (2/3) Kalikan akar pangkat tiga dari kurung, kita dapatkan y = (t ^ (2 + 1 / 3)) + 4 * t ^ (1/3) Ini memberi kita y = t ^ (7/3) + 4t ^ (1/3) Pada diferensiasi, kita mendapatkan dy / dx = (7 * t ^ (4 / 3)) / 3 + (4 * t ^ (- 2/3)) / 3 Yang memberi, dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ ( 2/3) Baca lebih lajut »

98 Nilai rata-rata f pada [a, b] adalah 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx. Untuk masalah ini, yaitu 1 / (10-0) int_0 ^ 10 (18x + 8) dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _0 ^ 10 = 1/10 [980] = 98. Baca lebih lajut »

Nilai rata-rata adalah 4948/5 = 989,6 Nilai rata-rata f pada interval [a, b] adalah 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Jadi kita mendapatkan: 1 / (2-0) int_0 ^ 2 2x ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 4 dx = 2/2 int_0 ^ 2 x ^ 3 (x ^ 8 + 4x ^ 6 + 10x ^ 4 + 4x ^ 2 + 1) dx = int_0 ^ 2 (x ^ 11 + 4x ^ 9 + 10x ^ 7 + 4x ^ 5 + x ^ 3) dx = x ^ 12/12 + (4x ^ 10) / 10 + (6x ^ 8) / 8 + (4x ^ 6) / 6 + x ^ 4/4] _0 ^ 2 = (2) ^ 12/12 + (2 (2) ^ 10) / 5 + (3 (2) ^ 8) / 4 + (2 (2) ^ 6) / 3 + ( 2) ^ 4/4 = 4948/5 = 9896/10 = 989,6 Baca lebih lajut »

1 / 2sin (2), sekitar 0.4546487 Nilai rata-rata c dari fungsi f pada interval [a, b] diberikan oleh: c = 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Di sini, ini diterjemahkan ke dalam rata-rata nilai: c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx Mari kita gunakan substitusi u = x / 2. Ini menyiratkan bahwa du = 1 / 2dx. Kita kemudian dapat menulis ulang integralnya seperti: c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) Membagi 1 / 4 menjadi 1/2 * 1/2 memungkinkan untuk 1 / 2dx untuk hadir dalam integral sehingga kita dapat dengan mudah membuat substitusi 1 / 2dx = du. Kita juga perlu mengubah ba Baca lebih lajut »

Nilai rata-rata adalah 16/3 Nilai rata-rata suatu fungsi f pada interval [a, b] adalah 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Jadi nilai yang kita cari adalah 1 / (5-1) int_1 ^ 5 (x-1) ^ 2 dx = 1/4 [(x-1) ^ 3/3] _1 ^ 5 = 1/12 [(4) ^ 3- (0) ^ 3] = 16/3 Baca lebih lajut »

Itu adalah (4 (sqrt2-1)) / pi Nilai rata-rata fungsi f pada interval [a, b] adalah 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Jadi nilai yang kita cari adalah 1 / (pi / 4-0) int_0 ^ (pi / 4) secxtanx dx = 4 / pi [secx] _0 ^ (pi / 4) = 4 / pi [sec (pi / 4) -sec (0)] = 4 / pi [ sqrt2-1] = (4 (sqrt2-1)) / pi Baca lebih lajut »

Nilai rata-rata f pada [a, b} adalah 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx. Untuk fungsi ini pada interval ini, saya mendapatkan -1/3 Ave = 1 / (2-0) int_0 ^ 2 (xx ^ 2) dx = 1/2 [x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1/2 [(4 / 2-8 / 3) - (0)] = 1/2 (-2/3) = -1/3 Baca lebih lajut »

Lihat di bawah. Nilai rata-rata adalah 1 / (sqrtpi-0) int_0 ^ sqrtpi 10xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpiint_0 ^ sqrtpi 2xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpi [-cos (x ^ 2)] _ 0 ^ sqrtpi = 12 / sqrtpi Pedantic Note (12sqrtpi) / pi TIDAK memiliki penyebut yang rasional. Baca lebih lajut »

Ambil integral int_1 ^ ooxe ^ -xdx, yang terbatas, dan perhatikan bahwa ia mengikat sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Oleh karena itu konvergen, jadi jumlah_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) juga. Pernyataan formal dari tes integral menyatakan bahwa jika sirip [0, oo) memperbaikiRR fungsi penurunan monoton yang non-negatif. Maka jumlah sum_ (n = 0) ^ oof (n) adalah konvergen jika dan hanya jika "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx terbatas. (Tau, Terence. Analisis I, edisi kedua. Agen buku Hindustan. 2009). Pernyataan ini mungkin tampak agak teknis, tetapi idenya adalah sebagai berikut. Mengambil dalam kasus ini fungsi f (x) Baca lebih lajut »

D) f (x) = x ^ 3, c = 3 Definisi turunan dari fungsi f (x) pada titik c dapat ditulis: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h Dalam kasus kami, kami dapat melihat bahwa kami memiliki (3 + h) ^ 3, jadi kami dapat menebak bahwa fungsinya adalah x ^ 3, dan bahwa c = 3. Kita dapat memverifikasi hipotesis ini jika kita menuliskan 27 sebagai 3 ^ 3: lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3-27) / h = lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3 -3 ^ 3) / h Kita melihat bahwa jika c = 3, kita akan mendapatkan: lim_ (h-> 0) ((c + h) ^ 3-c ^ 3) / h Dan kita dapat melihat bahwa fungsinya hanya nilai potong dadu dalam kedua kasus, jadi fungsinya harus f (x) = Baca lebih lajut »

B) f (x) = cos (x), c = pi / 6 Kita tahu: cos (pi / 6) = sqrt3 / 2 Ini berarti kita dapat menulis ulang batas seperti: lim_ (h-> 0) (cos ( pi / 6 + h) -cos (pi / 6)) / h Mempertimbangkan definisi turunan dari fungsi f (x) pada titik c: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h Dugaan yang masuk akal adalah c = pi / 6, dan menggunakannya, kita dapat melihat bahwa input ke fungsi cosinus cocok dengan input ke f (x) dalam definisi: lim_ (h- > 0) (cos (warna (merah) (c + h)) - cos (warna (merah) (c))) / h Ini berarti bahwa jika c = pi / 6, maka f (x) = cos (x ). Baca lebih lajut »

Int (1-sin ^ 2 (x)) / sin ^ 2 (x) dx = -cot (x) -x + C Pertama-tama kita dapat membagi fraksi menjadi dua: int (1-sin ^ 2 (x )) / sin ^ 2 (x) dx = int 1 / sin ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) / sin ^ 2 (x) dx = = int 1 / sin ^ 2 (x) -1 dx = int 1 / sin ^ 2 (x) dx-x Sekarang kita dapat menggunakan identitas berikut: 1 / sin (theta) = csc (theta) int csc ^ 2 (x) dx-x Kita tahu bahwa turunan dari cot (x) adalah -csc ^ 2 (x), jadi kita dapat menambahkan tanda minus baik di luar maupun di dalam integral (sehingga mereka membatalkan) untuk menyelesaikannya: -int -csc ^ 2 ( x) dx-x =-mask (x) -x + C Baca lebih lajut »

Sinh (1/2) ~~ 0,52 Kita tahu definisi untuk sinh (x): sinh (x) = (e ^ xe ^ -x) / 2 Karena kita tahu seri Maclaurin untuk e ^ x, kita dapat menggunakannya untuk buat satu untuk sinh (x). e ^ x = jumlah_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) ... Kita dapat menemukan seri untuk e ^ - x dengan mengganti x dengan -x: e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n !) x ^ n = 1-x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) ... Kita dapat mengurangi keduanya dari satu sama lain untuk menemukan pembilang definisi sinh: warna (putih) (- e ^ -x.) e ^ x = warna (putih) (....) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) Baca lebih lajut »

Dy / dx = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 y = (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5 dy / dx = d / dx [(5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5] warna (putih) (dy / dx) = (5-x) ^ 3d / dx [(4 + x) ^ 5] + (4 + x) ^ 5d / dx [(5-x) ^ 3] warna (putih) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 * (4 + x) ^ (5- 1) * d / dx [4 + x]) + (4 + x) ^ 5 (3 * (5-x) ^ (3-1) * d / dx [5-x]) warna (putih) ( / dx) = (5-x) ^ 3 (5 (4 + x) ^ 4 (1)) + (4 + x) ^ 5 (3 (5-x) ^ 2 (-1)) warna (putih) (dy / dx) = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 Baca lebih lajut »

Dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2)))) Anda harus menggunakan aturan rantai. Ingat bahwa rumus untuk ini adalah: f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) Idenya adalah bahwa Anda mengambil turunan dari fungsi terluar terlebih dahulu, dan kemudian hanya bekerja dengan Anda jalan masuk. Sebelum kita mulai, mari kita mengidentifikasi semua fungsi kita dalam ungkapan ini. Kami memiliki: arcsin (x) (3x) / 4 arcsin (x) adalah fungsi terluar, jadi kami akan mulai dengan mengambil turunannya. Jadi: dy / dx = warna (biru) (d / dx [arcsin (3x / 4)] = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) Perhatikan bagaimana kita masih mempertahankann Baca lebih lajut »

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Kita mulai dengan substitusi u dengan u = ln (x). Kami kemudian membagi dengan turunan dari u untuk mengintegrasikan sehubungan dengan u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du Sekarang kita perlu menyelesaikan untuk x dalam hal u: u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du Anda mungkin menebak bahwa ini tidak memiliki anti-turunan dasar, dan Anda akan benar. Namun kita dapat menggunakan formulir untuk fungsi kesalahan imajiner, erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx Untuk mendapatkan Baca lebih lajut »

Lihat di bawah. Mempertimbangkan abs x <1 jumlah_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) jumlah_ (n = 1) ^ oo (- x) ^ n tetapi jumlah_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 dan d ^ 2 / (dx ^ 2) jumlah_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 lalu jumlah_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1 ) ^ 3 Baca lebih lajut »

Int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C Kita mulai dengan memperkenalkan substitusi u dengan u = 1 + cosh (x). Turunan dari u adalah sinh (x), jadi kami membaginya dengan sinh (x) untuk berintegrasi dengan u: int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = int cancel (sinh (x)) / (batal (sinh (x)) * u) du = int 1 / u du Integral ini adalah integral integral: int 1 / t dt = ln | t | + C Ini membuat kita integral: ln | u | + C Kita bisa mengganti untuk mendapatkan: ln (1 + cosh (x)) + C, yang merupakan jawaban akhir kita. Kami menghapus nilai absolut dari logaritma karena kami mencatat bahwa cosh positif pada domainnya Baca lebih lajut »

4 = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [jumlah_ {i = 1} ^ {i = n} i ^ 2] + (3 / n) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} 1] "(rumus Faulhaber)" = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [(n (n + 1) (2n + 1)) / 6] + (3 / n) [n ] = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6] + (3 / n) [n] = lim_ {n-> oo} [1 + ((3/2)) / n + ((1/2)) / n ^ 2 + 3] = lim_ {n-> oo} [1 + 0 + 0 + 3] = 4 Baca lebih lajut »

Lihat di bawah. Sayangnya fungsi di dalam integral tidak akan berintegrasi dengan sesuatu yang tidak dapat diekspresikan dalam hal fungsi dasar. Anda harus menggunakan metode numerik untuk melakukan ini. Saya bisa menunjukkan kepada Anda cara menggunakan ekspansi seri untuk mendapatkan nilai perkiraan. Mulailah dengan deret geometri: 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 ... = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n untuk rlt1 Sekarang terintegrasi dengan memperhatikan r dan menggunakan batas 0 dan x untuk mendapatkan ini: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + ... dr Mengintegrasikan sisi kiri: int_0 ^ x1 / (1-r) dr Baca lebih lajut »

Aturan Rantai: f '(g (x)) * g' (x) Dalam kalkulus diferensial, kami menggunakan Aturan Rantai ketika kami memiliki fungsi komposit. Ini menyatakan: Turunannya akan sama dengan turunan dari fungsi luar sehubungan dengan dalam, kali turunan dari fungsi dalam. Mari kita lihat apa yang terlihat seperti secara matematis: Aturan Rantai: f '(g (x)) * g' (x) Katakanlah kita memiliki fungsi gabungan dosa (5x). Kita tahu: f (x) = sinx => f '(x) = cosx g (x) = 5x => g' (x) = 5 Jadi turunannya akan sama dengan cos (5x) * 5 = 5cos (5x ) Kita hanya harus menemukan dua fungsi kita, menemukan turunannya dan i Baca lebih lajut »

Kita tahu bahwa suatu fungsi dapat diperkirakan dengan rumus ini f (x) = sum_ {k = 0} ^ {n} frac {f ^ ((k)) (x_0)} {k!} (X-x_0) ^ k + R_n (x) di mana R_n (x) adalah sisanya. Dan itu berfungsi jika f (x) dapat diturunkan n kali dalam x_0. Sekarang anggaplah n = 4, jika tidak terlalu rumit untuk menghitung turunannya. Mari kita hitung untuk setiap k = 0 hingga 4 tanpa mempertimbangkan sisanya. Ketika k = 0 rumus menjadi: frac {e ^ (2/0)} {0!} (X-0) ^ 0 Dan kita melihat bahwa e ^ (2/0) tidak dapat dibuktikan, sehingga fungsinya tidak dapat diperkirakan dalam x_0 = 0 Baca lebih lajut »

Inilah pendekatan ... Mari kita lihat ... Linier berada dalam bentuk f (x) = mx + b di mana m adalah kemiringan, x adalah variabel, dan b adalah intersep-y. (Anda tahu itu!) Kita dapat menemukan konkavitas suatu fungsi dengan menemukan turunan ganda (f '' (x)) dan di mana itu sama dengan nol. Ayo lakukan! f (x) = mx + b => f '(x) = m * 1 * x ^ (1-1) +0 => f' (x) = m * 1 => f '(x) = m = > f '' (x) = 0 Jadi ini memberitahu kita bahwa fungsi linear harus melengkung pada setiap titik tertentu. Mengetahui bahwa grafik fungsi linear adalah garis lurus, ini tidak masuk akal, bukan? Oleh kar Baca lebih lajut »

Jadi saya juga perlu menggunakan aturan rantai pada (x + 1) ^ 2 dy / dx = u'v + v'u u '= 2 (x + 1) * 1 v' = 2 u = (x + 1) ^ 2 v = (2x-1) memasukkan ke dalam aturan produk. dy / dx = 2 (2x + 1) * (2x-1) + 2 (x + 1) ^ 2 dy / dx = 2 (4x ^ 2-1) + 2 (x ^ 2 + 2x + 1) dy / dx = 8x ^ 2-2 + 2x ^ 2 + 4x + 2 dy / dx = 10x ^ 2 + 4x Baca lebih lajut »

Saya pikir itu tidak standar. Sebagai seorang mahasiswa di sebuah Universitas di AS pada tahun 1975 kami menggunakan Kalkulus oleh Earl Swokowski (edisi pertama). Definisinya adalah: Titik P (c, f (c)) pada grafik fungsi f adalah titik infleksi jika terdapat interval terbuka (a, b) yang mengandung c sedemikian rupa sehingga hubungan berikut ini berlaku: (i) warna (putih) (') "" f' '(x)> 0 jika a <x <c dan f' '(x) <0 jika c <x <b; atau (ii) "" f '' (x) <0 jika a <x <c dan f '' (x)> 0 jika c <x <b. (hal 146) Dalam buku teks yang saya Baca lebih lajut »

Dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) dy / dx = cosx xx e ^ x + e ^ x xx sinx dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) Baca lebih lajut »

Ini adalah fungsi eksponensial dari basis b (di mana b> 0 harus diasumsikan). Dapat dianggap sebagai b ^ x = e ^ (xln (b)), sehingga, menggunakan Aturan Rantai (Lihat Aturan Rantai) dan fakta bahwa (e ^ x) '= e ^ x (lihat Eksponen dengan Basis e) menghasilkan (b ^ x) '= e ^ (xln (b)) kali ln (b) = b ^ x kali ln (b) (lihat fungsi eksponensial). Baca lebih lajut »

Turunan dari 10x terhadap x adalah 10. Misalkan y = 10x Bedakan y terhadap x. (dy) / (dx) = d / (dx) (10x) (dy) / (dx) = xd / (dx) (10) + 10d / (dx) (x) [sinced / (dx) (uv) = ud / (dx) v + vd / (dx) u] (dy) / (dx) = x (0) +10 (1) [d / (dx) (const) = 0; d / (dx) ( x) = 1] (dy) / (dx) = 10 Turunan dari 10x sehubungan dengan x adalah 10. Baca lebih lajut »

Ada aturan untuk membedakan fungsi-fungsi ini (d) / (dx) [a ^ u] = (ln a) * (a ^ u) * (du) / (dx) Perhatikan bahwa untuk masalah kita a = 10 dan u = x jadi mari kita tancapkan apa yang kita ketahui. (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) * (du) / (dx) jika u = x, (du) / (dx) = 1 karena kekuatan aturan: (d) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1) jadi, kembali ke masalah kita, (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * ( 10 ^ x) * (1) yang disederhanakan menjadi (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) Ini akan bekerja sama jika Anda adalah sesuatu yang lebih rumit daripada x. Banyak kalkulus berkaitan dengan kemampuan untuk menghubungkan ma Baca lebih lajut »

D / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Menggunakan aturan diferensiasi standar berikut: d / dxa ^ (u (x)) = a ^ u * lna * (du) / dx d / dx sinu (x) = cosu (x) * (du) / dx d / dxax ^ n = nax ^ (n-1) Kami mendapatkan hasil berikut: d / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Baca lebih lajut »

(d (2pir)) / (dr) warna (putih) ("XXX") = 2pi (dr) / (dr) oleh Peraturan Konstan untuk warna Derivatif (putih) ("XXX") = 2pi ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Aturan Konstan untuk Derivatif memberitahu kita bahwa If f ( x) = c * g (x) untuk beberapa konstanta c maka f '(x) = c * g' (x) Dalam hal ini f (r) = 2pir; c = 2pi, dan g (r) = r Baca lebih lajut »

D / (dx) (- 4 / x ^ 2) = 8x ^ (- 3) Diberikan, -4 / x ^ 2 Tulis ulang ekspresi menggunakan notasi (dy) / (dx). d / (dx) (- 4 / x ^ 2) Hancurkan fraksi. = d / (dx) (- 4 * 1 / x ^ 2) Menggunakan perkalian dengan aturan konstan, (c * f) '= c * f', keluarkan -4. = -4 * d / (dx) (1 / x ^ 2) Tulis ulang 1 / x ^ 2 menggunakan eksponen. = -4 * d / (dx) (x ^ -2) Menggunakan aturan daya, d / (dx) (x ^ n) = n * x ^ (n-1), ekspresi menjadi, = -4 * - 2x ^ (- 2-1) Sederhanakan. = warna (hijau) (| bilah (ul (warna (putih) (a / a) warna (hitam) (8x ^ -3) warna (putih) (a / a) |)))) Baca lebih lajut »

D / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = - 6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Saya merasa lebih mudah untuk berpikir dalam bentuk eksponen dan menggunakan aturan daya: d / (dx) x ^ n = nx ^ (n-1) sebagai berikut: d / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = d / (dx) (5 + 6x ^ (- 1 ) + 3x ^ (- 2)) = 0 + 6 ((- 1) x ^ (- 2)) + 3 ((- 2) x ^ (- 3)) = -6x ^ (- 2) -6x ^ (-3) = -6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Baca lebih lajut »

-5 sekarang aturan daya untuk diferensiasi adalah: d / (dx) (ax ^ n) = anx ^ (n-1): .d / (dx) (- 5x) = d / (dx) (- 5x ^ 1 ) = -5xx1xx x ^ (1-1) menggunakan aturan daya = -5x ^ 0 = -5 jika kita menggunakan definisi (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (f (x + h) -f (x)) / jam yang kita miliki (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5 (x + h) - -5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5x-5j + 5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5h) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5) = - 5 seperti sebelumnya Baca lebih lajut »

D / dx | u | = u / | u | * (du) / fungsi nilai absolut dx seperti y = | x-2 | dapat ditulis seperti ini: y = sqrt ((x-2) ^ 2) menerapkan diferensiasi: y '= (2 (x-2)) / (2sqrt ((x-2) ^ 2)) aturan daya rarr menyederhanakan, y '= (x-2) / | x-2 | di mana x! = 2 jadi secara umum d / dxu = u / | u | * (du) / dx Saya akan menempatkan ini pada pemeriksaan ganda hanya untuk memastikan. Baca lebih lajut »

Saya berasumsi Anda mengacu pada hiperbola sama sisi, karena itu satu-satunya hiperbola yang dapat dinyatakan sebagai fungsi nyata dari satu variabel nyata. Fungsi ini didefinisikan oleh f (x) = 1 / x. Menurut definisi, forall x in (-infty, 0) cup (0, + infty) turunannya adalah: f '(x) = lim_ {h to 0} {f (x + h) -f (x)} / { h} = lim_ {h ke 0} {1 / {x + h} -1 / x} / {h} = lim_ {h ke 0} {{x- (x + h)} / {(x + h) x}} / {h} = lim_ {h ke 0} {- h} / {xh (x + h)} = lim_ {h ke 0} {- 1} / {x ^ 2 + hx} = - 1 / x ^ 2 Ini juga dapat diperoleh dengan aturan derivasi berikut untuk semua alpha ne 1: (x ^ alpha) '= alpha x ^ {alpha Baca lebih lajut »

5 Tidak yakin dengan notasi Anda di sini. Saya menafsirkan ini sebagai: f (x) = 5x Derivatif: d / dx 5x = 5 Ini diperoleh dengan menggunakan aturan daya: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) Dari contoh: d / dx 5x ^ 1 = (1) * 5x ^ (1-1) = 5 * x ^ 0 = 5 * 1 = 5 Baca lebih lajut »

Sebuah komentar sampingan dimulai dengan: notasi cos ^ -1 untuk fungsi cosinus terbalik (lebih eksplisit, fungsi invers dari pembatasan cosinus menjadi [0, pi]) tersebar luas tetapi menyesatkan. Memang, konvensi standar untuk eksponen ketika menggunakan fungsi trigonometri (misalnya, cos ^ 2 x: = (cos x) ^ 2 menunjukkan bahwa cos ^ (- 1) x adalah (cos x) ^ (- 1) = 1 / (cos x). Tentu saja tidak, tetapi notasinya sangat menyesatkan. Alternatif (dan yang umum digunakan) notasi arccos x jauh lebih baik. Sekarang untuk turunannya. Ini adalah komposit, jadi kami akan menggunakan Aturan Rantai. Kami akan membutuhkan (x ^ 3) ' Baca lebih lajut »

F '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2 Menggunakan Quotient Rule, yaitu y = f (x) / g (x), maka y '= (f' (x) g (x) f (x) g '(x)) / (g (x)) ^ 2 Menerapkan ini untuk masalah yang diberikan, yaitu f (x) = (cos ^ -1x ) / x f '(x) = ((cos ^ -1x)' (x) - (cos ^ -1x) (x) ') / x ^ 2 f' (x) = (- 1 / sqrt (1- x ^ 2) * x-cos ^ -1x) / x ^ 2 f '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2, di mana -1 Baca lebih lajut »

Dengan Diferensiasi Implisit, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Mari kita lihat beberapa detail. Dengan mengganti f (x) dengan y, y = cot ^ {- 1} x dengan menulis ulang dalam hal cotangent, Rightarrow coty = x dengan membedakan secara implisit sehubungan dengan x, Rightarrow -csc ^ 2ycdot {dy} / {dx} = 1 dengan membaginya dengan -csc ^ 2thn, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {csc ^ 2y} oleh identitas trigonometri csc ^ 2y = 1 + cot ^ 2y = 1 + x ^ 2, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {1 + x ^ 2} Karenanya, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Baca lebih lajut »

Dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) Proses: 1.) y = "arccsc" (x) Pertama kita akan menulis ulang persamaan dalam bentuk yang lebih mudah untuk dikerjakan. Ambil cosecant dari kedua sisi: 2.) csc y = x Tulis ulang dalam hal sinus: 3.) 1 / siny = x Selesaikan untuk y: 4.) 1 = xsin y 5.) 1 / x = sin y 6. ) y = arcsin (1 / x) Sekarang, mengambil turunannya harus lebih mudah. Sekarang hanya masalah aturan rantai. Kita tahu bahwa d / dx [arcsin alpha] = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) (ada bukti identitas ini terletak di sini) Jadi, ambil turunan dari fungsi luar, lalu kalikan dengan turunan dari 1 / x: 7.) dy / dx = 1 / sqr Baca lebih lajut »

F '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Penjelasan: f (x) = e ^ (4x) log (1 x) Konversi dari basis 10 ke ef (x) = e ^ (4x) ln (1 x) / ln10 Menggunakan Aturan Produk, yaitu y = f (x) * g (x) y '= f (x) * g' ( x) + f '(x) * g (x) Demikian pula berikut untuk masalah yang diberikan, f' (x) = e ^ (4x) / ln10 * 1 / (1-x) (- 1) + ln (1 x) / ln10 * e ^ (4x) * (4) f '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Baca lebih lajut »

Dalam f (x) = ln (cos (x)), kita memiliki fungsi fungsi (ini bukan perkalian, katakan saja '), jadi kita perlu menggunakan aturan rantai untuk turunan: d / dx (f (g ( x)) = f '(g (x)) * g' (x) Untuk masalah ini, dengan f (x) = ln (x) dan g (x) = cos (x), kita memiliki f '(x) = 1 / x dan g '(x) = - sin (x), maka kita pasang g (x) ke dalam rumus untuk f' (*) .d / dx (ln (cos (x))) = 1 / ( cos (x)) * d / dx (cos (x)) = (1) / (cos (x)) * (- sin (x)) = (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x). Ini perlu diingat untuk nanti ketika Anda belajar tentang integral! Beri tahu mereka dansmath menjawab pertanyaan Anda! Baca lebih lajut »

Pertama, kita akan menulis ulang fungsi dalam hal logaritma natural, menggunakan aturan perubahan basis: f (x) = ln (e ^ x + 3) / ln4 Membedakan akan membutuhkan penggunaan aturan rantai: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * d / (d (e ^ x + 3)) [ln (e ^ x + 3)] * d / dx [e ^ x + 3] Kita tahu itu karena turunan dari ln x sehubungan dengan x adalah 1 / x, maka turunan dari ln (e ^ x + 3) sehubungan dengan e ^ x + 3 akan menjadi 1 / (e ^ x + 3). Kita juga tahu bahwa turunan dari e ^ x + 3 sehubungan dengan x hanya akan menjadi e ^ x: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * 1 / (e ^ x + 3) * (e ^ x ) Menyederhanakan hasil: d / dx f (x) = (e ^ x) / (ln Baca lebih lajut »

Solusi f '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) Mari kita y = ln (f (x)) Membedakan sehubungan dengan x menggunakan Aturan Rantai, kita dapatkan, y' = 1 / f (x) * f '(x) Demikian pula mengikuti untuk hasil masalah yang diberikan, f' (x) = 1 / (e ^ x + 3) * e ^ x f '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) Baca lebih lajut »

Sebuah komentar sampingan dimulai dengan: notasi sin ^ -1 untuk fungsi sinus terbalik (lebih eksplisit, fungsi terbalik pembatasan sinus ke [-pi / 2, pi / 2]) tersebar luas tetapi menyesatkan. Memang, konvensi standar untuk eksponen ketika menggunakan fungsi trigonometri (misalnya, sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2 menunjukkan bahwa dosa ^ (- 1) x adalah (sin x) ^ (- 1) = 1 / (sin x). Tentu saja tidak, tetapi notasinya sangat menyesatkan. Alternatif (dan yang umum digunakan) notasi arcsin x jauh lebih baik. Sekarang untuk turunannya. Ini adalah komposit, jadi kami akan menggunakan Aturan Rantai. Kami akan membutuhkan (ln x) '= Baca lebih lajut »

F '(x) = 2 (cosec2x) Solusi f (x) = ln (tan (x)) mari kita mulai dengan contoh umum, misalkan kita memiliki y = f (g (x)) lalu, Menggunakan Aturan Rantai, y' = f '(g (x)) * g' (x) Demikian pula dengan masalah yang diberikan, f '(x) = 1 / tanx * dtk ^ 2x f' (x) = cosx / sinx * 1 / (cos ^ 2x) f '(x) = 1 / (sinxcosx) untuk penyederhanaan lebih lanjut, kami kalikan dan bagi dengan 2, f' (x) = 2 / (2sinxcosx) f '(x) = 2 / (sin2x) f' (x) = 2 (cosec2x) Baca lebih lajut »

Metode 1: Kita akan mulai dengan menggunakan aturan perubahan basis untuk menulis ulang f (x) secara setara sebagai: f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 Kita tahu bahwa d / dx [ln x] = 1 / x . (jika identitas ini terlihat asing, periksa beberapa video di halaman ini untuk penjelasan lebih lanjut) Jadi, kami akan menerapkan aturan rantai: f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx [ln x / ln 6] Turunan dari ln x / 6 adalah 1 / (xln6): f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) Penyederhanaan memberi kita: f' (x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) Metode 2: Hal pertama yang perlu diperhatikan adalah hanya d / dx ln (x) = 1 / x di mana ln = Baca lebih lajut »

Saya akan menganggap bahwa dengan log Anda berarti logaritma dengan basis 10. Seharusnya tidak menjadi masalah karena logika berlaku untuk basis lain juga. Pertama kita akan menerapkan aturan perubahan basis: f (x) = y = ln (x ^ 2 + x) / ln (10) Kita dapat menganggap 1 / ln10 sebagai konstanta saja, jadi ambil turunan dari pembilang dan menerapkan aturan rantai: dy / dx = 1 / ln (10) * 1 / (x ^ 2 + x) * (2x + 1) Sederhanakan sedikit: dy / dx = (2x + 1) / (ln ( 10) * (x ^ 2 + x)) Ada turunan kami. Perlu diingat, mengambil turunan dari logaritma tanpa basis e hanyalah masalah menggunakan aturan perubahan-basis untuk mengubah Baca lebih lajut »

Derivatifnya adalah f '(x) = (1-logx) / x ^ 2. Ini adalah contoh dari Aturan Quotient: Aturan Quotient. Aturan hasil bagi menyatakan bahwa turunan dari fungsi f (x) = (u (x)) / (v (x)) adalah: f '(x) = (v (x) u' (x) -u (x) ) v '(x)) / (v (x)) ^ 2. Singkatnya: f '(x) = (vu'-uv') / v ^ 2, di mana u dan v adalah fungsi (khususnya, pembilang dan penyebut dari fungsi asli f (x)). Untuk contoh khusus ini, kita akan membiarkan u = logx dan v = x. Karena itu u '= 1 / x dan v' = 1. Mengganti hasil ini ke dalam aturan hasil bagi, kita menemukan: f '(x) = (x xx 1 / x-logx xx 1) / x ^ 2 f' ( Baca lebih lajut »

Dengan Aturan Quotient, y '= {1 / x cdot x-lnx cdot 1} / {x ^ 2} = {1-lnx} / {x ^ 2} Masalah ini juga dapat diselesaikan dengan Aturan Produk y' = f '(x) g (x) + f (x) g (x) Fungsi aslinya juga dapat ditulis ulang menggunakan eksponen negatif. f (x) = ln (x) / x = ln (x) * x ^ -1 f '(x) = 1 / x * x ^ -1 + ln (x) * - 1x ^ -2 f' (x ) = 1 / x * 1 / x + ln (x) * - 1 / x ^ 2 f '(x) = 1 / x ^ 2-ln (x) / x ^ 2 f' (x) = (1- ln (x)) / x ^ 2 Baca lebih lajut »

D / dx [sec ^ -1x] = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) Proses: Pertama, kita akan membuat persamaan sedikit lebih mudah untuk ditangani. Ambil garis potong dari kedua sisi: y = detik ^ -1 x detik y = x Selanjutnya, tulis ulang dalam hal cos: 1 / cos y = x Dan selesaikan untuk y: 1 = xcosy 1 / x = nyaman y = arccos (1 / x) Sekarang ini terlihat lebih mudah dibedakan. Kita tahu bahwa d / dx [arccos (alpha)] = -1 / (sqrt (1-alpha ^ 2)) sehingga kita dapat menggunakan identitas ini serta aturan rantai: dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx [1 / x] Sedikit penyederhanaan: dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) Sed Baca lebih lajut »

Kebanyakan orang mengingat ini f '(x) = 1 / {sqrt {1-x ^ 2}} sebagai salah satu formula turunan; Namun, Anda dapat menurunkannya dengan diferensiasi implisit. Mari kita turunkan turunannya. Biarkan y = sin ^ {- 1} x. Dengan menulis ulang dalam bentuk sinus, siny = x Dengan membedakan secara implisit sehubungan dengan x, cdot nyaman {dy} / {dx} = 1 Dengan membaginya dengan cosy, {dy} / {dx} = 1 / cosy Dengan nyaman = sqrt { 1-sin ^ 2y}, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-sin ^ 2y} Dengan siny = x, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-x ^ 2} Baca lebih lajut »

Turunan untuk contoh ini melibatkan aturan rantai dan aturan daya. Ubah akar kuadrat menjadi eksponen. Kemudian terapkan Aturan Daya dan Aturan Rantai. Kemudian sederhanakan dan hapus eksponen negatif. f (x) = sqrt (1 + ln (x)) f (x) = (1 + ln (x)) ^ (1/2) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x) )) ^ ((1/2) -1) * (0 + 1 / x) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) * ( 1 / x) f '(x) = (1 / (2x)) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) f' (x) = 1 / (2xsqrt (1 + ln (x) ))) Baca lebih lajut »

Saya ingat profesor saya lupa bagaimana menurunkan ini. Inilah yang saya perlihatkan kepadanya: y = arctanx tany = x dt ^ 2y (dy) / (dx) = 1 (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) Karena tany = x / 1 dan sqrt (1 ^ 2 + x ^ 2) = sqrt (1 + x ^ 2), dt ^ 2y = (sqrt (1 + x ^ 2) / 1) ^ 2 = 1 + x ^ 2 => warna (biru) ((dy ) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2)) Saya pikir dia awalnya bermaksud untuk melakukan ini: (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) detik ^ 2y = 1 + tan ^ 2y tan ^ 2y = x -> dtk 2y = 1 + x ^ 2 => (dy) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) Baca lebih lajut »

F '(x) = 3x ^ 2-6x Kita membutuhkan aturan penjumlahan (u + v + w)' = u '+ v' + w 'dan itu (x ^ n)' = nx ^ (n-1) jadi kita mendapatkan f '(x) = 3x ^ 2-6x Baca lebih lajut »

Saat Anda membedakan eksponensial dengan basis selain e, gunakan aturan perubahan basis untuk mengubahnya menjadi logaritma natural: f (x) = x * lnx / ln5 Sekarang, bedakan, dan terapkan aturan produk: d / dxf (x) = d / dx [x] * lnx / ln5 + x * d / dx [lnx / ln5] Kita tahu bahwa turunan dari ln x adalah 1 / x. Jika kita memperlakukan 1 / ln5 sebagai konstanta, maka kita dapat mengurangi persamaan di atas menjadi: d / dxf (x) = lnx / ln5 + x / (xln5) Menyederhanakan hasil: d / dxf (x) = (lnx + 1) / ln5 Baca lebih lajut »

Fungsi f (x) = x * ln (x) adalah dari bentuk f (x) = g (x) * h (x) yang membuatnya cocok untuk peralatan aturan produk. Aturan produk mengatakan bahwa untuk menemukan turunan dari suatu fungsi yang merupakan produk dari dua fungsi atau lebih, gunakan rumus berikut: f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) In kasus kami, kami dapat menggunakan nilai-nilai berikut untuk setiap fungsi: g (x) = xh (x) = ln (x) g '(x) = 1 h' (x) = 1 / x Ketika kami mengganti masing-masing ke dalam aturan produk, kami mendapatkan jawaban akhir: f '(x) = 1 * ln (x) + x * 1 / x = ln (x) + 1 Pelajari lebih lanjut tentang aturan Baca lebih lajut »

(df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)). Kami akan membutuhkan penggunaan dua aturan: aturan produk dan aturan rantai. Aturan produk menyatakan bahwa: (d (fg)) / dx = (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx. Aturan rantai menyatakan bahwa: (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx, di mana u adalah fungsi x dan y adalah fungsi u. Oleh karena itu, (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2))' Untuk menemukan turunan dari sqrt (1-x ^ 2) , gunakan aturan rantai, dengan u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) = -x / (sqrt (1-x ^ 2)). Mengganti hasil ini ke dala Baca lebih lajut »

G '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Untuk menemukan turunan dari g (x), Anda harus membedakan setiap istilah dalam jumlah g' (x) = d / dx (x) + d / dx ( 4 / x) Lebih mudah untuk melihat Aturan Daya pada term kedua dengan menulis ulangnya sebagai g '(x) = d / dx (x) + d / dx (4x ^ -1) g' (x) = 1 + 4d / dx (x ^ -1) g '(x) = 1 + 4 (-1x ^ (- 1-1)) g' (x) = 1 + 4 (-x ^ (- 2)) g '( x) = 1 - 4x ^ -2 Akhirnya, Anda dapat menulis ulang istilah kedua yang baru ini sebagai pecahan: g '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Baca lebih lajut »

Anda dapat memperlakukan saya sebagai konstanta seperti C. Jadi turunan dari i akan menjadi 0. Namun, ketika berhadapan dengan bilangan kompleks, kita harus berhati-hati dengan apa yang dapat kita katakan tentang fungsi, turunan dan integral. Ambil fungsi f (z), di mana z adalah bilangan kompleks (yaitu, f memiliki domain kompleks). Kemudian turunan dari f didefinisikan dengan cara yang mirip dengan kasus nyata: f ^ prime (z) = lim_ (h to 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) di mana h sekarang bilangan kompleks. Melihat sebagai bilangan kompleks dapat dianggap sebagai berbaring di pesawat, yang disebut bidang kompleks, kita memilik Baca lebih lajut »

(ln (2x)) '= 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Anda menggunakan aturan rantai: (f @ g) '(x) = (f (g (x)))' = f '(g (x)) * g' (x). Dalam kasus Anda: (f @ g) (x) = ln (2x), f (x) = ln (x) dan g (x) = 2x. Karena f '(x) = 1 / x dan g' (x) = 2, kita memiliki: (f @ g) '(x) = (ln (2x))' = 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Baca lebih lajut »

Mempertimbangkan fungsi (linear): y = mx + b di mana m dan b adalah bilangan real, turunannya, y ', dari fungsi ini (berkenaan dengan x) adalah: y' = m Fungsi ini, y = mx + b, mewakili, secara grafis, garis lurus dan angka m mewakili TANDANGAN garis (atau jika Anda ingin kecenderungan garis). Seperti yang Anda lihat, mendapatkan fungsi linear y = mx + b memberi Anda m, kemiringan garis yang merupakan hasil yang cukup dapat dipelihara, yang banyak digunakan dalam Kalkulus! Sebagai contoh Anda dapat mempertimbangkan fungsi: y = 4x + 5 Anda dapat menurunkan setiap faktor: turunan dari 4x adalah turunan dari 5 adalah 0 Baca lebih lajut »

Turunan dari pi * r ^ 2 (dengan asumsi bahwa ini sehubungan dengan r) adalah warna (putih) ("XXX") (d pir ^ 2) / (dr) = warna (merah) (2pir) Secara umum daya aturan untuk membedakan fungsi dari bentuk umum f (x) = c * x ^ a di mana c adalah konstanta adalah (df (x)) / (dx) = a * c * x ^ (a-1) Dalam hal ini warna (putih) ("XXX") konstanta (c) adalah warna pi (putih) ("XXX") eksponen (a) adalah 2 warna (putih) ("XXX") dan kami menggunakan r sebagai variabel kami, bukannya x Jadi warna (putih) ("XXX") (d (pir ^ 2)) / (dr) = 2 * pi * r ^ (2-1) warna (putih) ("XXXXXXX" Baca lebih lajut »

Pi / 3 Kita akan menggunakan aturan: d / dx (cx) = cd / dx (x) = c Dengan kata lain, turunan dari 5x adalah 5, turunan dari -99x adalah -99, dan turunan dari 5 / 7x adalah 5/7. Fungsi yang diberikan (pix) / 3 adalah sama: itu pi konstan / 3 dikalikan dengan variabel x. Jadi, d / dx ((pix) / 3) = pi / 3d / dx (x) = pi / 3. Baca lebih lajut »

2 * cos (2x) Saya akan menggunakan Aturan Rantai: Pertama turunkan dosa dan kemudian argumen 2x untuk mendapatkan: cos (2x) * 2 Baca lebih lajut »