Bagaimana Anda menemukan Formula MacLaurin untuk f (x) = sinhx dan menggunakannya untuk mendekati f (1/2) dalam 0,01?

Menjawab:

#sinh (1/2) ~~ 0,52 #

Penjelasan:

Kami tahu definisi untuk #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Karena kita tahu seri Maclaurin untuk # e ^ x #, kita dapat menggunakannya untuk membangun satu untuk #sinh (x) #.

# e ^ x = jumlah_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Kami dapat menemukan seri untuk # e ^ -x # dengan mengganti # x # dengan # -x #:

# e ^ -x = jumlah_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = jumlah_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) x ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Kami dapat mengurangi keduanya dari satu sama lain untuk menemukan pembilang # sinh # definisi:

#color (white) (- e ^ -x.) e ^ x = warna (putih) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + X ^ 5 / (5!) … #

#color (white) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# e ^ xe ^ -x = warna (putih) (lllllllll) 2xcolor (putih) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) warna (putih) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Kita dapat melihat bahwa semua ketentuan genap membatalkan dan semua istilah ganjil digandakan. Kami dapat mewakili pola ini seperti ini:

# e ^ x-e ^ -x = jumlah_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Untuk melengkapi #sinh (x) # seri, kita hanya perlu membaginya dengan #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo cancel2 / (cancel2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Sekarang kami ingin menghitung #f (1 / 2) # dengan akurasi setidaknya #0.01#. Kita tahu bentuk umum dari kesalahan Lagrange ini terikat untuk tingkat ke tiga tentang polinomial # x = c #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (X-c) ^ (n + 1) | # dimana # M # adalah batas atas pada turunan ke - n pada interval dari # c # untuk # x #.

Dalam kasus kami, ekspansi adalah seri Maclaurin, jadi # c = 0 # dan # x = 1 / 2 #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Derivatif order lebih tinggi dari #sinh (x) # akan baik #sinh (x) # atau #cosh (x) #. Jika kita mempertimbangkan definisi untuk mereka, kita melihatnya #cosh (x) # akan selalu lebih besar dari #sinh (x) #, jadi kita harus mencari tahu # M #-menuju #cosh (x) #

Fungsi cosinus hiperbolik selalu meningkat, sehingga nilai terbesar pada intervalnya adalah di #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Sekarang kita pasang ini ke dalam batas kesalahan Lagrange:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / ((n +1)!) (1/2) ^ (n +1) #

Kami ingin # | R_n (x) | # lebih kecil dari #0.01#, jadi kami coba beberapa # n # nilai sampai kita mencapai titik itu (semakin sedikit jumlah istilah dalam polinomial, semakin baik). Kami menemukan itu # n = 3 # adalah nilai pertama yang akan memberi kita kesalahan yang terikat lebih kecil dari #0.01#, jadi kita perlu menggunakan polinomial derajat 3 taylor.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0,52 #