Apa itu Infinity? + Contoh

Apa itu Infinity? + Contoh
Anonim

Menjawab:

Ini tidak dapat dijawab tanpa konteks. Berikut adalah beberapa kegunaan dalam matematika.

Penjelasan:

Suatu himpunan memiliki kardinalitas tak terbatas jika dapat dipetakan satu-ke-satu ke bagian yang tepat dari dirinya sendiri. Ini bukan penggunaan tak terhingga dalam kalkulus.

Dalam Kalkulus, kami menggunakan "tak terbatas" dalam 3 cara.

Notasi interval:

Simbol-simbol # oo # (masing-masing # -oo #) digunakan untuk menunjukkan bahwa suatu interval tidak memiliki titik akhir kanan (masing-masing kiri).

Intervalnya # (2, oo) # sama dengan set # x #

Batas Tanpa Batas

Jika batas gagal ada karena sebagai # x # pendekatan #Sebuah#, nilai - nilai #f (x) # bertambah tanpa batas, lalu kita tulis #lim_ (xrarra) f (x) = oo #

Perhatikan bahwa: frasa "tanpa batas" adalah signifikan. The nubers:

#1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64… # meningkat, tetapi dibatasi di atas. (Mereka tidak pernah bisa atau lulus #1#.)

Batas di Infinity

Frasa "batas saat tak terbatas" digunakan untuk menunjukkan bahwa kami telah bertanya apa yang terjadi #f (x) # sebagai # x # meningkat tanpa batas.

Contohnya termasuk

Batasnya sebagai # x # meningkat tanpa batas # x ^ 2 # tidak ada karena, seperti # x # meningkat tanpa batas, # x ^ 2 # juga meningkat tanpa batas.

Ini tertulis #lim_ (xrarr00) x ^ 2 = oo # dan kita sering membacanya

"Batasnya sebagai # x # pergi hingga tak terbatas, dari # x ^ 2 # tak terhingga"

Batasnya #lim_ (xrarroo) 1 / x = 0 # mengindikasikan bahwa, sebagai # x # meningkat tanpa batas, # 1 / x # pendekatan #0#.

Menjawab:

Itu tergantung pada konteks …

Penjelasan:

#bb + - # Tak terbatas dan terbatas

Pertimbangkan himpunan bilangan real # RR #, sering digambarkan sebagai garis dengan angka negatif di sebelah kiri dan angka positif di sebelah kanan. Kami dapat menambahkan dua poin yang disebut # + oo # dan # -oo # yang tidak berfungsi sebagai angka, tetapi memiliki properti berikut:

#AA x dalam RR, -oo <x <+ oo #

Lalu kita bisa menulis #lim_ (x -> + oo) # berarti batas sebagai # x # semakin positif tanpa batas atas dan #lim_ (x -> - oo) # berarti batas sebagai # x # semakin negatif tanpa batas bawah.

Kami juga dapat menulis ekspresi seperti:

#lim_ (x-> 0+) 1 / x = + oo #

#lim_ (x-> 0-) 1 / x = -oo #

… artinya nilai dari # 1 / x # menambah atau mengurangi tanpa batas sebagai # x # pendekatan #0# dari 'kanan' atau 'kiri'.

Jadi dalam konteks ini # + - oo # benar-benar singkatan untuk menyatakan kondisi atau hasil dari proses pembatas.

Infinity sebagai penyelesaian # RR # atau # CC #

Garis proyektif # RR_oo # dan lingkup Riemann # CC_oo # dibentuk dengan menambahkan satu titik yang disebut # oo # untuk # RR # atau # CC # - "titik tak terhingga".

Kami kemudian dapat memperluas definisi fungsi seperti #f (z) = (az + b) / (cz + d) # harus berkelanjutan dan didefinisikan dengan baik pada keseluruhan # RR_oo # atau # CC_oo #. Transformasi Möbius ini bekerja sangat baik #Mendekut#, tempat mereka memetakan lingkaran ke lingkaran.

Infinity in Set Theory

Ukuran (Kardinalitas) dari himpunan bilangan bulat adalah tak terbatas, yang dikenal sebagai tak terhingga yang tak terhingga. Georg Cantor menemukan bahwa jumlah bilangan real benar-benar lebih besar daripada tak terhingga yang dapat dihitung ini. Dalam teori himpunan ada sejumlah besar ketidakterbatasan ukuran meningkat.

Tak terbatas sebagai angka

Bisakah kita memperlakukan infinitas sebagai angka? Ya, tetapi segala sesuatunya tidak berjalan seperti yang Anda harapkan sepanjang waktu. Sebagai contoh, kita mungkin dengan senang hati mengatakannya # 1 / oo = 0 # dan # 1/0 = oo #, tapi apa nilainya # 0 * oo? #

Ada sistem bilangan yang meliputi tak terhingga dan tak terhingga (jumlahnya sangat kecil). Ini memberikan gambaran intuitif tentang hasil proses batas seperti diferensiasi dan dapat diperlakukan dengan ketat, tetapi ada beberapa perangkap yang harus dihindari.