Bagaimana Anda menggunakan Tes Integral untuk menentukan konvergensi atau divergensi seri: jumlah n e ^ -n dari n = 1 hingga tak terbatas?

Menjawab:

Ambil integralnya # int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, Yang terbatas, dan perhatikan bahwa ia terikat #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Karena itu konvergen, jadi #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # juga.

Penjelasan:

Pernyataan formal tes integral menyatakan bahwa jika #fin 0, oo) rightarrowRR # fungsi penurunan monoton yang non-negatif. Lalu jumlahnya #sum_ (n = 0) ^ salah (n) # konvergen jika dan hanya jika # "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # terbatas. (Tau, Terence. Analisis I, edisi kedua. Agen buku Hindustan. 2009).

Pernyataan ini mungkin tampak agak teknis, tetapi idenya adalah sebagai berikut. Mengambil dalam hal ini fungsinya #f (x) = xe ^ (- x) #, kami perhatikan untuk #x> 1 #, fungsi ini menurun. Kita bisa melihat ini dengan mengambil turunannya. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, sejak #x> 1 #jadi # (1-x) <0 # dan #e ^ (- x)> 0 #.

Karena ini, kami mencatat bahwa untuk apa pun #ninNN _ (> = 2) # dan #x dalam 1, oo) # seperti yang #x <= n # kita punya #f (x)> = f (n) #. Karena itu #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #jadi #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# int_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ ooe ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # menggunakan integrasi oleh bagian dan itu #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

Sejak #f (x)> = 0 #, kita punya # e / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #jadi #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Sejak #f (n)> = 0 #, seri #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # meningkat sebagai # N # meningkat. Karena dibatasi oleh # 3 / e #, itu harus konvergen. Karena itu #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # konvergen.

Bagaimana Anda menentukan apakah integral yang tidak tepat konvergen atau menyimpang int 1 / [sqrt x] dari 0 hingga tak terbatas?

Penyimpangan integral. Kita dapat menggunakan uji perbandingan untuk integral yang tidak tepat, tetapi dalam hal ini integral sangat sederhana untuk dievaluasi sehingga kita bisa menghitungnya dan melihat apakah nilainya dibatasi. int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = [2sqrtx] _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) ( 2sqrtx) = oo Ini berarti bahwa integral tidak sama.

Bagaimana saya menemukan konvergensi atau divergensi dari seri ini? jumlah dari 1 hingga tak terbatas 1 / n ^ lnn

Konvergen Pertimbangkan seri jumlah_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, di mana p> 1. Dengan uji-p, seri ini bertemu. Sekarang, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p untuk semua yang cukup besar n selama p adalah nilai yang terbatas. Jadi, dengan uji perbandingan langsung, jumlah_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n bertemu. Bahkan, nilainya kira-kira sama dengan 2.2381813.

Bagaimana Anda menguji konvergensi untuk jumlah (4 + abs (cosk)) / (k ^ 3) untuk k = 1 hingga tak terbatas?

Seri ini benar-benar konvergen. Perhatikan pertama bahwa: (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 <= 5 / k ^ 3 untuk k = 1 ... oo dan (4 + abs (cosk)) / k ^ 3> 0 untuk k = 1 ... oo Oleh karena itu jika sum5 / k ^ 3 bertemu maka akan menjumlahkan (4 + abs (cosk)) / k ^ 3 karena itu akan kurang dari ekspresi baru (dan positif). Ini adalah seri p dengan p = 3> 1. Oleh karena itu seri ini benar-benar konvergen: Lihat http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html untuk info lebih lanjut.