Menjawab:
Seri ini benar-benar konvergen.
Penjelasan:
Catatan pertama bahwa:
dan
Karena itu kalau
Ini adalah seri p dengan
Oleh karena itu seri ini benar-benar konvergen:
Lihat http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html untuk info lebih lanjut.
Dengan menggunakan definisi konvergensi, bagaimana Anda membuktikan bahwa urutan {5+ (1 / n)} menyatu dari n = 1 hingga tak terbatas?
Biarkan: a_n = 5 + 1 / n lalu untuk m, n di NN dengan n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) sebagai n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n dan sebagai 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Dengan diberi nomor nyata epsilon> 0, pilih bilangan bulat N> 1 / epsilon. Untuk sembarang bilangan bulat m, n> N kita memiliki: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon yang membuktikan kondisi Cauchy untuk konvergensi urutan.
Bagaimana Anda menggunakan Tes Integral untuk menentukan konvergensi atau divergensi seri: jumlah n e ^ -n dari n = 1 hingga tak terbatas?
Ambil integral int_1 ^ ooxe ^ -xdx, yang terbatas, dan perhatikan bahwa ia mengikat sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Oleh karena itu konvergen, jadi jumlah_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) juga. Pernyataan formal dari tes integral menyatakan bahwa jika sirip [0, oo) memperbaikiRR fungsi penurunan monoton yang non-negatif. Maka jumlah sum_ (n = 0) ^ oof (n) adalah konvergen jika dan hanya jika "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx terbatas. (Tau, Terence. Analisis I, edisi kedua. Agen buku Hindustan. 2009). Pernyataan ini mungkin tampak agak teknis, tetapi idenya adalah sebagai berikut. Mengambil dalam kasus ini fungsi f (x)
Bagaimana saya menemukan konvergensi atau divergensi dari seri ini? jumlah dari 1 hingga tak terbatas 1 / n ^ lnn
Konvergen Pertimbangkan seri jumlah_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, di mana p> 1. Dengan uji-p, seri ini bertemu. Sekarang, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p untuk semua yang cukup besar n selama p adalah nilai yang terbatas. Jadi, dengan uji perbandingan langsung, jumlah_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n bertemu. Bahkan, nilainya kira-kira sama dengan 2.2381813.