Dengan menggunakan definisi konvergensi, bagaimana Anda membuktikan bahwa urutan {5+ (1 / n)} menyatu dari n = 1 hingga tak terbatas?

Membiarkan:

#a_n = 5 + 1 / n #

lalu untuk apa pun # m, n di NN # dengan #n> m #:

#ab (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#ab (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#ab (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

sebagai #n> m => 1 / n <1 / m #:

#ab (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

dan sebagai # 1 / n> 0 #:

#ab (a_m-a_n) <1 / m #.

Diberi nomor nyata #epsilon> 0 #, pilih bilangan bulat #N> 1 / epsilon #.

Untuk bilangan bulat apa pun # m, n> N # kita punya:

#ab (a_m-a_n) <1 / N #

#ab (a_m-a_n) <epsilon #

yang membuktikan kondisi Cauchy untuk konvergensi urutan.