Berapa panjang busur r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) pada kaleng [1, ln2]?

Menjawab:

Panjang busur #~~ 2.42533 # (5dp)

Panjang busur negatif karena batas bawah #1# lebih besar dari batas atas # ln2 #

Penjelasan:

Kami memiliki fungsi vektor parametrik, yang diberikan oleh:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

Untuk menghitung panjang busur, kita akan memerlukan turunan vektor, yang dapat kita hitung menggunakan aturan produk:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

Kemudian kita menghitung besarnya vektor turunan:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Kemudian kita bisa menghitung panjang busur menggunakan:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

# = int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) dt #

Tidak mungkin kita dapat menghitung integral ini menggunakan teknik analitik, jadi alih-alih menggunakan Metode Numerik kita memperoleh perkiraan:

# L ~~ 2.42533 # (5dp)

Panjang busur negatif karena batas bawah #1# lebih besar dari batas atas # ln2 #