Bagaimana memilih dua angka yang jumlah akar kuadratnya minimal, mengetahui bahwa produk dari dua angka itu adalah?

Menjawab:

# x = y = sqrt (a) #

Penjelasan:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "minimal" #

# "Kita bisa bekerja dengan pengali Lagrange L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Mendapatkan hasil:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(setelah mengalikan dengan x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Sekarang kita masih harus memeriksa x = 0." #

# "Ini tidak mungkin karena x * y = 0 kalau begitu." #

# "Jadi kami punya solusi unik" #

# x = y = sqrt (a) #

Menjawab:

Saya akan mencoba membawa Anda melalui metode solusi di bawah ini.

Penjelasan:

Apa yang kita cari

Dua angka. Mari beri mereka nama, # x # dan # y #.

Baca kembali pertanyaannya.

Kami ingin membuat jumlah akar kuadrat minimal.

Ini memberitahu kita dua hal

(1) kedua angka tersebut tidak negatif (untuk menghindari imajiner)

(2) Kami tertarik pada nilai # sqrtx + sqrty #

Baca kembali pertanyaannya.

Kami juga diberitahu bahwa produk dari # x # dan # y # aku s #Sebuah#.

Siapa yang memilih #Sebuah#?

Secara umum, jika latihan mengatakan sesuatu tentang #Sebuah# atau # b # atau # c #, kami menganggapnya sebagai konstanta yang diberikan oleh orang lain.

Jadi kita mungkin diberitahu "produk dari # x # dan # y # aku s #11#'

atau "produk dari # x # dan # y # aku s #124#'.

Kita harus menyelesaikan semua ini sekaligus dengan mengatakan # xy = a # untuk beberapa konstan #Sebuah#.

Jadi, kami ingin membuatnya # sqrtx + sqrty # sekecil mungkin menjaga # xy = a # untuk beberapa konstan #Sebuah#.

Ini terlihat seperti masalah optimasi dan itu adalah salah satunya. Jadi saya ingin fungsi satu variabel untuk diminimalkan.

# sqrtx + sqrty # memiliki dua variabel, # x # dan # y #

# xy = a # juga memiliki dua variabel, # x # dan # y # (ingat #Sebuah# adalah konstan)

Begitu #y = a / x #

Sekarang kami ingin meminimalkan:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Temukan turunannya, lalu bilangan kritis dan ujilah bilangan kritis itu. Selesai mencari # y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Kritis # sqrta #

#f '(x) <0 # untuk #x <sqrta # dan #f '(x)> 0 # untuk #x> sqrta #jadi #f (sqrta) # adalah minimum.

#x = sqrta # dan #y = a / x = sqrta #

Menjawab:

# 2 root (4) (a) #

Penjelasan:

Kami tahu itu untuk #x_i> 0 # kita punya

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

kemudian

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # kemudian

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

tapi # x_1x_2 = a # kemudian

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #