Bagaimana cara menghitung jumlah ini? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Mengingat #ab x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) jumlah_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

tapi # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # dan

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # kemudian

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Menjawab:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # kapan # | x | <1 #

Penjelasan:

Kami mulai dengan menuliskan beberapa koefisien:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

Hal pertama yang ingin kita lihat adalah koefisien (tingkat # x # dapat dengan mudah disesuaikan dengan mengalikan dan membagi seri dengan # x #, jadi mereka tidak sepenting). Kita melihat bahwa mereka semua adalah kelipatan dua, sehingga kita dapat menunjukkan faktor dua:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Koefisien di dalam kurung ini dapat dikenali sebagai deret binomial dengan kekuatan # alpha = -3 #:

# (1 + x) ^ alpha = 1 + alphax + (alpha (alpha-1)) / (2!) X ^ 2 + (alpha (alpha-1) (alpha-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Kami perhatikan bahwa eksponen semua istilah dalam kurung lebih besar dua dibandingkan dengan seri yang baru saja kami peroleh, jadi kita harus mengalikan # x ^ 2 # untuk mendapatkan seri yang tepat:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Ini berarti bahwa seri kami (ketika konvergen) sama dengan:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Hanya untuk memverifikasi bahwa kami tidak melakukan kesalahan, kami dapat dengan cepat menggunakan Seri Binomial untuk menghitung seri # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2!) X ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 4) (- 5)) / (3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Kita dapat menggambarkan pola ini seperti ini:

# = 2x ^ 2tum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = jumlah_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Karena istilah pertama itu adil #0#, kita bisa menulis:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

yang merupakan seri yang kami mulai, memverifikasi hasil kami.

Sekarang kita hanya perlu mengetahui interval konvergensi, untuk melihat kapan seri sebenarnya memiliki nilai. Kita dapat melakukan ini dengan melihat kondisi konvergensi untuk seri binomial dan menemukan bahwa seri tersebut konvergen kapan # | x | <1 #