Bagaimana cara menghitung ini? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Contoh

Menjawab:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Sayangnya fungsi di dalam integral tidak akan berintegrasi dengan sesuatu yang tidak dapat diekspresikan dalam hal fungsi dasar. Anda harus menggunakan metode numerik untuk melakukan ini.

Saya bisa menunjukkan kepada Anda bagaimana menggunakan ekspansi seri untuk mendapatkan nilai perkiraan.

Mulailah dengan deret geometri:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = jumlah_ (n = 0) ^ oor ^ n # untuk # rlt1 #

Sekarang berintegrasi dengan hormat # r # dan menggunakan batas #0# dan # x # untuk mendapatkan ini:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Mengintegrasikan sisi kiri:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Sekarang mengintegrasikan sisi kanan dengan mengintegrasikan istilah demi istilah:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Jadi berikut ini:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + + … #

Sekarang bagi dengan # x #:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Jadi sekarang kita memiliki ekspresi rangkaian daya untuk fungsi yang awalnya kita mulai. Akhirnya, kita dapat berintegrasi lagi untuk mendapatkan:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

Mengintegrasikan istilah tangan kanan dengan istilah sisi memberi kita:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

Mengevaluasi batas ke empat istilah akan memberi kami nilai perkiraan:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Sekarang, ini hanya untuk empat istilah. Jika Anda ingin nomor yang lebih akurat cukup gunakan lebih banyak istilah dalam seri. Misalnya, pergi ke istilah ke-100:

# int_0 ^ 1ln (1-x) /x~~-1.63498#

Sebagai tambahan, jika Anda bekerja melalui proses yang sama persis tetapi menggunakan penjumlahan penjumlahan (yaitu dengan sigma besar alih-alih menuliskan ketentuan seri) Anda akan menemukan bahwa:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

yang hanya fungsi Riemann-Zeta dari 2, yaitu:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

Kita sebenarnya sudah tahu nilai dari ini: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Oleh karena itu nilai tepat integral dapat disimpulkan menjadi:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #