Berapa panjang lengkung r (t) = (t, t, t) pada kaleng [1,2]?

Menjawab:

#sqrt (3) #

Penjelasan:

Kami mencari panjang busur dari fungsi vektor:

# bb (ul r (t)) = << t, t, t >> # untuk #t dalam 1,2 #

Yang dapat kita evaluasi dengan mudah menggunakan:

# L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || dt #

Jadi kami menghitung turunannya, # bb (ul (r ') (t)) # #:

# bb (ul r '(t)) = << 1,1,1 >> #

Jadi kita mendapatkan panjang busur:

# L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt #

# = sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# = sqrt (3) (2-1) #

# = sqrt (3) #

Hasil sepele ini seharusnya tidak mengejutkan karena persamaan aslinya yang diberikan adalah garis lurus.