Bagaimana Anda menemukan volume wilayah yang dilingkupi oleh kurva y = x ^ 2 - 1 dan y = 0 diputar di sekitar garis x = 5?

Menjawab:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) #

Penjelasan:

Untuk menghitung volume ini kita dalam beberapa hal akan memotongnya menjadi irisan (sangat tipis).

Kami membayangkan wilayah, untuk membantu kami dalam hal ini, saya telah melampirkan grafik di mana wilayah tersebut adalah bagian di bawah kurva. Kami perhatikan itu # y = x ^ 2-1 # melintasi garis # x = 5 # dimana # y = 24 # dan itu melewati batas # y = 0 # dimana # x = 1 # grafik {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Saat memotong daerah ini dalam irisan horizontal dengan ketinggian # dy # (ketinggian sangat kecil). Panjang irisan ini sangat tergantung pada koordinat y. untuk menghitung panjang ini kita perlu mengetahui jarak dari suatu titik # (y, x) # di telepon # y = x ^ 2-1 # ke titik (5, y). Tentu ini # 5-x #, tapi kami ingin tahu bagaimana ini tergantung # y #. Sejak # y = x ^ 2-1 #, kita tahu # x ^ 2 = y + 1 #, karena kita punya #x> 0 # untuk wilayah kami tertarik, # x = sqrt (y + 1) #, oleh karena itu jarak ini bergantung pada # y #, yang akan kami nyatakan sebagai #r (y) # diberikan oleh #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Sekarang kita memutar wilayah ini # x = 5 #, ini berarti setiap irisan menjadi sebuah silinder dengan tinggi # dy # dan jari-jari #r (y) #, oleh karena itu sebuah volume #pir (y) ^ 2dy #. Yang perlu kita lakukan sekarang adalah menambahkan volume yang sangat kecil ini menggunakan integrasi. Kami perhatikan itu # y # pergi dari #0# untuk #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.