Bagaimana Anda menemukan volume padatan yang dihasilkan dengan memutar daerah yang dibatasi oleh kurva y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) diputar tentang y = 4?

Menjawab:

# V = 685 / 32pi # unit kubik

Penjelasan:

Pertama, buat sketsa grafik.

# y_1 = x ^ 2-x #

# y_2 = 3-x ^ 2 #

# x #-mencegat

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # Dan kita memilikinya # {(x = 0), (x = 1):} #

Jadi penyadapan adalah #(0,0)# dan #(1,0)#

Dapatkan simpul:

# y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Jadi titik ada di #(1/2,-1/4)#

Ulangi sebelumnya:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # Dan kita memilikinya # {(x = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Jadi penyadapan adalah # (sqrt (3), 0) # dan # (- sqrt (3), 0) #

# y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Jadi titik ada di #(0,3)#

Hasil:

Bagaimana cara mendapatkan volume? Kami akan menggunakan metode cakram!

Metode ini sederhana: # "Volume" = piint_a ^ oleh ^ 2dx #

Idenya sederhana, namun Anda harus menggunakannya dengan cerdas.

Dan itulah yang akan kita lakukan.

Ayo hubungi volume kami # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2dx #

NB: Saya mengambil # (4-y) # karena # y # hanya jarak dari # x #-axis ke kurva, sedangkan kita ingin jarak dari garis # y = 4 # ke kurva!

Sekarang untuk menemukan #Sebuah# dan # b #, kami menyamakan # y_1 # dan # y_2 # dan kemudian selesaikan # x #

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1.5), (x = -1):} #

Sejak #Sebuah# datang sebelum # b #, # => a = -1 # dan # b = 1.5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1,5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Lakukan hal yang sama untuk # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (1 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1.5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = warna (biru) ((685pi) / 32) #

Bagaimana Anda menggunakan metode cangkang silindris untuk menemukan volume padatan yang diperoleh dengan memutar daerah yang dibatasi oleh y = x ^ 6 dan y = sin ((pix) / 2) diputar pada garis x = -4?

Lihat jawabannya di bawah ini:

Bagaimana Anda menemukan volume padatan yang dihasilkan dengan memutar wilayah yang dibatasi oleh grafik persamaan y = sqrtx, y = 0, dan x = 4 tentang sumbu y?

V = 8pi unit volume Pada dasarnya masalah yang Anda miliki adalah: V = piint_0 ^ 4 ((sqrtx)) ^ 2 dx Ingat, volume padatan diberikan oleh: V = piint (f (x)) ^ 2 dx Jadi, Intergral asli kami sesuai: V = piint_0 ^ 4 (x) dx Yang pada gilirannya sama dengan: V = pi [x ^ 2 / (2)] antara x = 0 sebagai batas bawah kami dan x = 4 sebagai batas atas kami. Menggunakan teorema dasar Kalkulus kami mengganti batas kami ke dalam ekspresi terintegrasi kami sebagai kurangi batas bawah dari batas atas. V = pi [16 / 2-0] V = 8pi unit volume

Bagaimana Anda menemukan volume padatan yang dihasilkan dengan memutar wilayah yang dibatasi oleh grafik y = -x + 2, y = 0, x = 0 tentang sumbu-y?

Lihat jawabannya di bawah ini: