Area yang dibatasi oleh kurva y = 3 + 2x-x ^ 2 dan garis y = 3 diputar sepenuhnya tentang garis y = 3. Temukan volume solid revolusi yang diperoleh?

Menjawab:

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

Area adalah solusi dari sistem ini:

# {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} #

Dan itu digambarkan dalam plot ini:

Rumus untuk volume padatan rotasi sumbu x adalah:

# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.

Untuk menerapkan rumus kita harus menerjemahkan setengah bulan pada sumbu x, area tidak akan berubah, dan juga tidak akan mengubah volume:

# y = -x ^ 2 + 2x + 3color (merah) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #

# y = 3color (red) (- 3) = 0 #

Dengan cara ini kita dapatkan #f (z) = - z ^ 2 + 2z #.

Area yang diterjemahkan sekarang diplot di sini:

Tapi mana a dan b integral? Solusi sistem:

# {(y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} #

Begitu # a = 0 dan b = 2 #.

Mari kita menulis ulang dan memecahkan integral:

# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #

# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #

# V = pi * z ^ 5 / 5- (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3) #

# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #

# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

Dan "lemon" ini adalah padatan yang diperoleh: