Apa turunan dari f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Proses:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Pertama kita akan menulis ulang persamaan dalam bentuk yang lebih mudah untuk dikerjakan.

Ambil yang terpenting dari kedua sisi:

2.) #csc y = x #

Menulis ulang dalam hal sinus:

3.) # 1 / siny = x #

Pecahkan untuk # y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Sekarang, mengambil turunannya harus lebih mudah. Sekarang hanya masalah aturan rantai.

Kami tahu itu # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) # (ada bukti identitas ini ada di sini)

Jadi, ambil turunan dari fungsi luar, lalu kalikan dengan turunan dari # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Turunan dari # 1 / x # sama dengan turunan dari #x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Penyederhanaan 8. memberi kita:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Untuk membuat pernyataan sedikit lebih cantik, kita bisa membawa kotak # x ^ 2 # di dalam radikal, meskipun ini tidak perlu:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2)))) #

Menyederhanakan hasil:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Dan ada jawaban kita. Ingat, masalah turunan yang melibatkan fungsi trigonometri terbalik sebagian besar merupakan latihan pengetahuan Anda tentang identitas trigonometri. Gunakan mereka untuk memecah fungsi menjadi bentuk yang mudah dibedakan.