Bagaimana cara mengintegrasikan int x ^ lnx?

Menjawab:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Penjelasan:

Kami mulai dengan substitusi u dengan # u = ln (x) #. Kami kemudian membagi dengan turunan dari # u # untuk mengintegrasikan sehubungan dengan # u #:

# (du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Sekarang kita harus menyelesaikannya # x # istilah dari # u #:

# u = ln (x) #

# x = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

Anda mungkin menebak bahwa ini tidak memiliki anti-turunan dasar, dan Anda akan benar. Namun kita dapat menggunakan formulir untuk fungsi kesalahan imajiner, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Untuk mendapatkan integral kita ke dalam formulir ini, kita mungkin hanya memiliki satu variabel kuadrat dalam eksponen # e #, jadi kita harus melengkapi kotak:

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# k = -1 / 4 #

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2) du #

Sekarang kita dapat memperkenalkan substitusi u dengan # t = u + 1/2 #. Turunannya adil #1#, jadi kita tidak perlu melakukan sesuatu yang khusus untuk diintegrasikan # t #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (t) + C #

Sekarang kita dapat membatalkan semua substitusi untuk mendapatkan:

#e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #