Bagaimana cara mengintegrasikan int e ^ x sinx cosx dx?

Menjawab:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Penjelasan:

Pertama-tama kita dapat menggunakan identitas:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

pemberian yang mana:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Sekarang kita dapat menggunakan integrasi dengan bagian-bagian. Rumusnya adalah:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

aku akan membiarkan #f (x) = sin (2x) # dan #g '(x) = e ^ x / 2 #. Menerapkan formula, kita dapatkan:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Sekarang kita dapat menerapkan integrasi dengan bagian sekali lagi, kali ini dengan #f (x) = cos (2x) # dan #g '(x) = e ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Sekarang kita memiliki integral di kedua sisi kesetaraan, sehingga kita bisa menyelesaikannya seperti persamaan. Pertama, kami menambahkan 2 kali integral untuk kedua sisi:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Karena kami ingin setengah sebagai koefisien pada integral asli, kami membagi kedua sisi #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Menjawab:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Penjelasan:

Kami mencari:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

Yang menggunakan identitas:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Kita dapat menulis sebagai:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

Di mana untuk kenyamanan kami menyatakan:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #, dan # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Sekarang, kami melakukan integrasi dengan bagian sekali lagi.

Membiarkan # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Kemudian memasukkan formula IBP yang kita dapatkan:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Sekarang, kami memiliki dua persamaan simultan dalam dua yang tidak diketahui #AKU S#. dan # I_C #, jadi dengan mengganti B ke dalam A yang kita miliki:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Menuju ke:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #