Berapakah turunan dari f (x) = detik ^ -1 (x)?

# d / dx sec ^ -1x = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Proses:

Pertama, kita akan membuat persamaan itu sedikit lebih mudah untuk ditangani. Ambil garis potong dari kedua sisi:

#y = sec ^ -1 x #

#sec y = x #

Selanjutnya, tulis ulang dalam hal # cos #:

# 1 / cos y = x #

Dan pecahkan untuk # y #:

# 1 = xcosy #

# 1 / x = nyaman #

#y = arccos (1 / x) #

Sekarang ini terlihat lebih mudah dibedakan. Kami tahu itu

# d / dx arccos (alpha) = -1 / (sqrt (1-alpha ^ 2)) #

jadi kita bisa menggunakan identitas ini serta aturan rantai:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Sedikit penyederhanaan:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) #

Sedikit penyederhanaan:

# dy / dx = 1 / (x ^ 2sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Untuk membuat persamaan sedikit lebih cantik saya akan memindahkan # x ^ 2 # di dalam radikal:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2)))) #

Beberapa pengurangan akhir:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Dan ada turunan kami.

Saat membedakan fungsi trigonometri terbalik, kuncinya adalah membuatnya dalam bentuk yang mudah ditangani. Lebih dari segalanya, mereka adalah latihan dalam pengetahuan Anda tentang identitas trigonometri dan manipulasi aljabar.