Manakah dari berikut ini yang memiliki jumlah akar asli maksimum?

Menjawab:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # dengan #4# akar nyata.

Penjelasan:

Perhatikan bahwa akar:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

adalah bagian dari penyatuan akar dari dua persamaan:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):} #

Perhatikan bahwa jika salah satu dari dua persamaan ini memiliki sepasang akar nyata maka demikian pula persamaan lainnya, karena keduanya memiliki diskriminan yang sama:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Perhatikan lebih lanjut bahwa jika #a, b, c # semua memiliki tanda yang sama # ax ^ 2 + b abs (x) + c # akan selalu mengambil nilai dari tanda itu saat # x # adalah nyata. Jadi, dalam contoh kita, sejak itu # a = 1 #, kita dapat segera mencatat bahwa:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

jadi tidak memiliki nol.

Mari kita lihat tiga persamaan lainnya pada gilirannya:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x dalam {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => x dalam {-2, 1}):} #

Mencoba masing-masing, kami menemukan solusi #x dalam {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x dalam {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => x dalam {-1, -2}):} #

Mencoba masing-masing, kami menemukan semua adalah solusi dari persamaan aslinya, yaitu #x dalam {-2, -1, 1, 2} #

Metode alternatif

Perhatikan bahwa akar nyata # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (dimana #c! = 0 #) adalah akar nyata positif # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Jadi untuk menemukan persamaan mana yang memiliki akar paling nyata sama dengan menemukan persamaan kuadrat biasa mana yang memiliki akar nyata paling positif.

Persamaan kuadrat dengan dua akar real positif memiliki tanda dalam pola #+ - +# atau #- + -#. Dalam contoh kita, tanda pertama selalu positif.

Dari contoh yang diberikan, hanya yang kedua dan ketiga yang memiliki koefisien dalam polanya #+ - +#.

Kita dapat mengabaikan persamaan kedua # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # karena diskriminannya negatif, tetapi untuk persamaan ketiga kita temukan:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

memiliki dua akar nyata positif, menghasilkan #4# akar persamaan # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #