Berapakah akar kuadrat dari 7 + akar kuadrat dari 7 ^ 2 + akar kuadrat dari 7 ^ 3 + akar kuadrat dari 7 ^ 4 + akar kuadrat dari 7 ^ 5?

#sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) #

Hal pertama yang bisa kita lakukan adalah membatalkan root pada yang memiliki kekuatan genap. Sejak:

#sqrt (x ^ 2) = x # dan #sqrt (x ^ 4) = x ^ 2 # untuk nomor berapa pun, kita bisa mengatakannya

#sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = #

# sqrt (7) + 7 + sqrt (7 ^ 3) + 49 + sqrt (7 ^ 5) #

Sekarang, #7^3# dapat ditulis ulang sebagai #7^2*7#, dan itu #7^2# bisa keluar dari root! Hal yang sama berlaku untuk #7^5# tetapi ditulis ulang sebagai #7^4*7#

#sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = #

# sqrt (7) + 7 + 7sqrt (7) + 49 + 49sqrt (7) #

Sekarang kita menempatkan akar dalam bukti, #sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = #

# (1 + 7 + 49) sqrt (7) + 7 + 49 #

Dan jumlah angka yang tersisa untuk dijumlahkan

#sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = 56 + 57sqrt (7) #

Ada cara untuk menemukan rumus umum untuk jumlah ini menggunakan progresi geometris, tapi saya tidak akan meletakkannya di sini karena saya tidak yakin apakah Anda sudah memilikinya dan tidak membuat ini terlalu lama.

Apakah [5 (akar kuadrat dari 5) + 3 (akar kuadrat dari 7)] / [4 (akar kuadrat dari 7) - 3 (akar kuadrat dari 5)]?

(159 + 29sqrt (35)) / 47 warna (putih) ("XXXXXXXX") dengan asumsi saya tidak membuat kesalahan aritmatika (5 (sqrt (5)) + 3 (sqrt (7))) / (4 (sqrt (7)) - 3 (sqrt (5)) Rasionalisasi penyebut dengan mengalikan dengan konjugat: = (5 (sqrt (5)) + 3 (sqrt (7))) / (4 (sqrt (7)) - 3 (sqrt (5))) xx (4 (sqrt (7)) + 3 (sqrt (5))) / (4 (sqrt (7)) + 3 (sqrt (5))) = (20sqrt (35) + 15 ((sqrt (5)) ^ 2) +12 ((sqrt (7)) ^ 2) + 9sqrt (35)) / (16 ((sqrt (7)) ^ 2) -9 ((sqrt (5) ) ^ 2)) = (29sqrt (35) +15 (5) +12 (7)) / (16 (7) -9 (5)) = (29sqrt (35) + 75 + 84) / (112-45 ) = (159 + 29sqrt (35)) / 47

Apa itu (akar kuadrat dari [6] + 2 akar kuadrat dari [2]) (akar kuadrat dari [6] - 3 akar kuadrat dari 2)?

12 + 5sqrt12 Kami mengalikan cross-multiply, yaitu, (sqrt6 + 2sqrt2) (4sqrt6 - 3sqrt2) sama dengan sqrt6 * 4sqrt6 + 2sqrt6 * 2sqrt6 -sqrt6 * 3sqrt2 - 2sqrt2 * 3sqrt2 dengan akar kata sama dengan waktu akar jadi 4 * 6 + 8sqrt2sqrt6 - 3sqrt6sqrt2 - 6 * 2 Kami menempatkan sqrt2sqrt6 sebagai bukti: 24 + (8-3) sqrt6sqrt2 - 12 Kita dapat menggabungkan dua akar ini dalam satu, setelah semua sqrtxsqrty = sqrt (xy) selama mereka ' re keduanya tidak negatif. Jadi, kita mendapatkan 24 + 5sqrt12 - 12 Akhirnya, kita hanya mengambil perbedaan dari dua konstanta dan menyebutnya sehari 12 + 5sqrt12

Apa akar kuadrat dari 3 + akar kuadrat dari 72 - akar kuadrat dari 128 + akar kuadrat dari 108?

7sqrt (3) - 2sqrt (2) sqrt (3) + sqrt (72) - sqrt (128) + sqrt (108) Kita tahu bahwa 108 = 9 * 12 = 3 ^ 3 * 2 ^ 2, jadi sqrt (108) = sqrt (3 ^ 3 * 2 ^ 2) = 6sqrt (3) sqrt (3) + sqrt (72) - sqrt (128) + 6sqrt (3) Kita tahu bahwa 72 = 9 * 8 = 3 ^ 2 * 2 ^ 3, jadi sqrt (72) = sqrt (3 ^ 2 * 2 ^ 3) = 6sqrt (2) sqrt (3) + 6sqrt (2) - sqrt (128) + 6sqrt (3) Kita tahu bahwa 128 = 2 ^ 7 , jadi sqrt (128) = sqrt (2 ^ 6 * 2) = 8sqrt (2) sqrt (3) + 6sqrt (2) - 8sqrt (2) + 6sqrt (3) Menyederhanakan 7sqrt (3) - 2sqrt (2)