Manakah dari pernyataan berikut ini yang benar / salah? Membenarkan jawaban Anda. (i) R² memiliki banyak subruang vektor yang tidak nol, tepat yang tepat. (ii) Setiap sistem persamaan linear yang homogen memiliki solusi yang tidak nol.

Menjawab:

# #

# "(i) Benar." #

# "(ii) Salah." #

Penjelasan:

# #

# "Bukti." #

# "(i) Kita dapat membangun seperangkat subruang seperti itu:" #

# "1)" forall r dalam RR, "let:" qquad quad V_r = (x, r x) dalam RR ^ 2. #

# "Secara geometris," V_r "adalah garis melalui asal dari" RR ^ 2, "dari slope" r. #

# "2) Kami akan memeriksa apakah subruang ini membenarkan pernyataan (i)." #

# "3) Jelas:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2. #

# "4) Periksa bahwa:" qquad qquad V_r "adalah subruang dari" RR ^ 2. #

# "Biarkan:" qquad u, v dalam V_r, alpha, beta dalam RR. qquad qquad qquad quad "Pastikan bahwa:" quad alpha u + beta v di V_r. #

# u, v dalam V_r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2); "untuk sebagian" x_1, x_2 dalam RR #

# qquad qquad qquad:. qquad quad alpha u + beta v = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1, alpha r x_1) + (beta x_2, beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, alpha r x_1 + beta r x_2) #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (alpha x_1 + beta x_2, r (alpha x_1 + beta x_2)) #

# qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3, r x_3) dalam V_r; qquad "dengan" x_3 = alpha x_1 + beta x_2. #

# "Jadi:" qquad qquad qquadu, v dalam V_r, alpha, beta dalam RR quad rArr quad alpha u + beta v di V_r. #

# "Jadi:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad V_r "adalah subruang dari" RR ^ 2. #

# "Untuk melihat bahwa" V_r "tidak nol, perhatikan bahwa:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad (1, r) dalam V_r, "dan" (1, r) ne (0, 0). #

# "Untuk melihat bahwa" V_r "tepat," "catat bahwa" (1, r + 1)! Di V_r: #

# (1, r + 1) dalam V_r rArr "(dengan konstruksi" V_r ")" quad r cdot 1 = r + 1 #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad rArr r = r + 1, "jelas tidak mungkin." #

# "Jadi:" qquad qquad qquad V_r "adalah subruang yang tidak nol, layak dari" RR ^ 2. qquad qquad qquad (1) #

# "5) Sekarang tunjukkan bahwa ada banyak ruang bagian seperti itu" V_r. #

# "Biarkan:" qquad qquad r, s dalam RR. qquad qquad qquad quad "Kami akan menunjukkan:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Menurut definisi:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) dalam V_r; (1, s) = (1, s cdot 1) dalam V_s. #

# "Jelas:" qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr (1, r) ne (1, s). #

# "Jadi:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne s rArr V_r ne V_s. #

# "Jadi setiap" r dalam RR "menghasilkan ruang bagian yang berbeda" V_r. #

# "Ini, bersama dengan (1), memberikan:" #

# "Keluarga subruang:" r dalam RR, "adalah keluarga tanpa batas" #

# "dari ruang bagian bukan nol, tepat" "RR ^ 2. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad persegi qquad #

# "(ii) Ini sebenarnya mudah. Jika sistemnya kotak, dan" #

# "matriks koefisien dari sistem yang dapat dibalik, hanya akan ada" #

# "solusi nol." #

# "Misalkan:" qquad qquad quad A "adalah kuadrat, matriks yang tidak dapat dibalik." #

# "Pertimbangkan sistem yang homogen:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0. #

# "Jadi, karena" A "tidak dapat dibalik:" #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot A x = A ^ {- 1} cdot 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad I x = 0. #

# qquad qquad qquad qquad:. qquad qquad qquad qquad x = 0. #

# "Jadi, sistem homogen" A x = 0, "tidak memiliki" #

# "solusi tidak nol." qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad persegi #