Pertimbangkan 3 lingkaran sama jari-jari r dalam lingkaran jari-jari R yang diberikan masing-masing untuk menyentuh dua lainnya dan lingkaran yang diberikan seperti yang ditunjukkan pada gambar, maka luas wilayah yang diarsir sama dengan?

Kita dapat membentuk ekspresi untuk area wilayah yang diarsir seperti:

#A_ "berbayang" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "center" #

dimana #A_ "center" # adalah area bagian kecil antara tiga lingkaran kecil.

Untuk menemukan area ini, kita dapat menggambar segitiga dengan menghubungkan pusat tiga lingkaran putih kecil. Karena setiap lingkaran memiliki jari-jari # r #, panjang setiap sisi segitiga adalah # 2r # dan segitiga sama sisi sehingga memiliki sudut # 60 ^ o # setiap.

Dengan demikian kita dapat mengatakan bahwa sudut wilayah tengah adalah luas segitiga ini dikurangi tiga sektor lingkaran. Tinggi segitiga itu sederhana #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, jadi luas segitiga adalah # 1/2 * basis * tinggi = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Area dari tiga segmen lingkaran dalam segitiga ini pada dasarnya adalah area yang sama dengan setengah dari salah satu lingkaran (karena memiliki sudut # 60 ^ o # masing-masing, atau #1/6# sebuah lingkaran, sehingga kita dapat menyimpulkan total luas sektor ini menjadi # 1/2 pir ^ 2 #.

Akhirnya, kita bisa mengusahakan area wilayah pusat menjadi #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Dengan demikian kembali ke ekspresi asli kami, area wilayah yang diarsir adalah

# piR ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Menjawab:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Penjelasan:

Mari kita beri lingkaran putih jari-jari # r = 1 #. Pusat-pusat membentuk segitiga sisi sama sisi #2#. Setiap median / ketinggian adalah #sqrt {3} # jadi jarak dari titik ke pusat massa adalah # 2/3 sqrt {3} #.

Centroid adalah pusat lingkaran besar sehingga jarak antara pusat lingkaran besar dan pusat lingkaran kecil. Kami menambahkan sedikit radius # r = 1 # mendapatkan

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Area yang kami cari adalah area lingkaran besar kurang dari segitiga sama sisi dan sisanya #5/6# dari setiap lingkaran kecil.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Kami skala oleh # r ^ 2 # secara umum.

Diameter untuk setengah lingkaran yang lebih kecil adalah 2r, temukan ekspresi untuk area yang diarsir? Sekarang biarkan diameter setengah lingkaran yang lebih besar menjadi 5 menghitung luas area yang diarsir?

Warna (biru) ("Area wilayah berarsir setengah lingkaran kecil" = ((8r ^ 2-75) pi) / 8 warna (biru) ("Area wilayah berarsir setengah lingkaran lebih besar" = 25/8 "unit" ^ 2 "Luas" Delta OAC = 1/2 (5/2) (5/2) = 25/8 "Luas Kuadran" OAEC = (5) ^ 2 (pi / 2) = (25pi) / 2 "Area dari segmen "AEC = (25pi) / 2-25 / 8 = (75pi) / 8" Luas Setengah Lingkaran "ABC = r ^ 2pi Area wilayah berarsir setengah lingkaran kecil adalah:" Luas "= r ^ 2pi- (75pi) / 8 = ((8r ^ 2-75) pi) / 8 Area wilayah berarsir setengah lingkaran yang lebih besar adalah area segitiga O

Dua partikel A dan B dengan massa yang sama M bergerak dengan kecepatan yang sama seperti yang ditunjukkan pada gambar. Mereka bertabrakan sepenuhnya inelastis dan bergerak sebagai partikel tunggal C. Sudut θ yang dibuat jalur C dengan sumbu X diberikan oleh:?

Tan (theta) = (sqrt (3) + sqrt (2)) / (1-sqrt (2)) Dalam fisika, momentum harus selalu dilestarikan dalam tabrakan. Oleh karena itu, cara termudah untuk mendekati masalah ini adalah dengan memecah momentum setiap partikel ke dalam momentum momentum komponen dan vertikal komponennya. Karena partikel memiliki massa dan kecepatan yang sama, mereka juga harus memiliki momentum yang sama. Untuk mempermudah perhitungan kami, saya hanya akan berasumsi bahwa momentum ini adalah 1 Nm. Dimulai dengan partikel A, kita dapat mengambil sinus dan cosinus 30 untuk menemukan bahwa ia memiliki momentum horizontal 1 / 2Nm dan momentum verti

Dua lingkaran memiliki persamaan berikut (x +5) ^ 2 + (y +6) ^ 2 = 9 dan (x +2) ^ 2 + (y -1) ^ 2 = 81. Apakah satu lingkaran berisi yang lainnya? Jika tidak, berapa jarak terjauh yang mungkin antara satu titik pada satu lingkaran dan satu lagi pada lainnya?

Lingkaran saling berpotongan tetapi tidak ada yang mengandung lingkaran lainnya. Warna jarak terbesar yang dimungkinkan (biru) (d_f = 19.615773105864 "" satuan Persamaan yang diberikan dari lingkaran adalah (x + 5) ^ 2 + (y + 6) ^ 2 = 9 "" lingkaran pertama (x + 2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 81 "" lingkaran kedua Kita mulai dengan persamaan yang melewati pusat lingkaran C_1 (x_1, y_1) = (- 5, -6) dan C_2 (x_2, y_2) = (- 2 , 1) adalah pusat.Menggunakan formulir dua titik y-y_1 = ((y_2-y_1) / (x_2-x_1)) * (x-x_1) y - 6 = ((1--6) / (- 2--5)) * * (x - 5) y + 6 = ((1 + 6) / (- 2 + 5)) * (x + 5) y + 6 = ((7)