Bagaimana Anda menemukan nilai absolut maksimum dan minimum absolut dari f pada interval yang diberikan: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) pada [-1, 5]?

Menjawab:

Reqd. nilai ekstrim adalah # -25 / 2 dan 25/2 #.

Penjelasan:

Kami menggunakan substitusi # t = 5sinx, t dalam -1,5 #.

Perhatikan bahwa penggantian ini diizinkan, karena, # t dalam -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, yang bagus, seperti kisaran #dosa# menyenangkan. aku s #-1,1#.

Sekarang, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Sejak, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Oleh karena itu, reqd. ekstremitas adalah # -25 / 2 dan 25/2 #.

Menjawab:

Temukan monoton fungsi dari tanda turunan dan tentukan maksimum / minimum lokal mana yang terbesar, terkecil.

Maksimum absolut adalah:

#f (3.536) = 12.5 #

Minimum absolut adalah:

#f (-1) = - 4.899 #

Penjelasan:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

Turunan dari fungsi:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12,5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12.5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12.5) -t) (sqrt (12.5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• Pembilang memiliki dua solusi:

  # t_1 = sqrt (12.5) = 3.536 #

  # t_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  Oleh karena itu, pembilangnya adalah:

  Negatif untuk #t in (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  Positif untuk #t in (-3.536,3.536) #

• Penyebut selalu positif # RR #, karena itu adalah akar kuadrat.

  Akhirnya, rentang yang diberikan adalah #-1,5#

Oleh karena itu, turunan dari fungsinya adalah:

- Negatif untuk #t dalam -1,3.536) #

- Positif untuk #t in (3.536,5) #

Ini berarti grafik pertama naik dari #f (-1) # untuk #f (3.536) # dan kemudian turun ke #f (5) #. Ini membuat #f (3.536) # maksimum absolut dan nilai terbesar #f (-1) # dan #f (5) # adalah minimum absolut.

Maksimum absolut adalah #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12.5 #

Untuk maksimum absolut:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4,899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Karena itu, #f (-1) = - 4.899 # adalah minimum absolut.

Anda dapat melihat dari grafik di bawah ini bahwa ini benar. Abaikan saja area yang tersisa #-1# karena keluar dari domain:

grafik {xsqrt (25-x ^ 2) -14,4, 21,63, -5,14, 12,87}