Untuk nilai x apakah f (x) = x-x ^ 2e ^ -x cekung atau cembung?

Menjawab:

Temukan turunan kedua dan periksa tandanya. Cembung jika positif dan cekung jika negatif.

Cekung untuk:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Cembung untuk:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Penjelasan:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Derivatif pertama:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Mengambil # e ^ -x # sebagai faktor umum untuk menyederhanakan turunan berikutnya:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Derivatif kedua:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Sekarang kita harus mempelajari tandanya. Kita dapat mengganti tanda untuk memecahkan kuadrat dengan mudah:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Untuk membuat kuadrat produk:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Karena itu:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2)))) #

• Nilai dari # x # antara dua solusi ini memberikan tanda kuadratik negatif, sementara nilai lainnya # x # membuatnya positif.
• Nilai apa pun dari # x # membuat # e ^ -x # positif.
• Tanda negatif di awal fungsi membalikkan semua tanda.

Karena itu, #f '' (x) # aku s:

Positif, oleh karena itu cekung untuk:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negatif, oleh karena itu cembung untuk:

#x in (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #