Mengapa memfaktorkan polinomial dengan kerja kelompok?

Ini berfungsi untuk beberapa polinomial tetapi tidak untuk yang lainnya. Sebagian besar, ini berfungsi untuk polinomial ini karena guru, atau penulis, atau pembuat ujian, memilih polinomial yang dapat diperhitungkan dengan cara ini.

Contoh 1

Faktor: # 3x ^ 3 + 6x ^ 3-5x-10 #

Saya mengelompokkan dua istilah pertama dan mengambil faktor umum dari keduanya:

# (3x ^ 3 + 6x ^ 2) -5x-10 = 3x ^ 2 (x + 2) -5x-10 #

Sekarang saya akan menghilangkan faktor-faktor umum dalam dua istilah lainnya. Jika saya mendapatkan waktu monomial # (x + 2) # maka faktorisasi dengan pengelompokan akan bekerja. Jika saya mendapatkan sesuatu yang lain, itu tidak akan berhasil.

Faktor umum dari # (- 5x-10) # aku s #-5#. Mengambil faktor itu keluar # -5 (x + 2) # jadi kita tahu faktorisasi dengan pengelompokan akan bekerja.

# 3x ^ 3 + 6x ^ 2-5x-10 = (3x ^ 3 + 6x ^ 2) + (- 5x-10) #

# = 3x ^ 2 (x + 2) -5 (x + 2) #.

Sekarang kita memiliki dua istilah dengan faktor yang sama # C # dimana # C = (x-2) #. Jadi kita punya # 3x ^ 2C-5C = (3x-5) C #

Yaitu: sudah # (3x ^ 2-5) (x + 2) #

Kami akan berhenti di situ jika kami hanya bersedia menggunakan koefisien integer (atau rasional).

Contoh 2

Faktor: # 4x ^ 3-10x ^ 2 + 3x + 15 #

# 4x ^ 3-10x ^ 2 + 3x + 15 = (4x ^ 3-10x ^ 2) + 6x + 15 #

# = 2x ^ 2 (2x-5) + 6x + 15 #

Sekarang jika kita ambil faktor yang umum # 6x + 15 # dan dapatkan waktu monomial # (2x-5) #, maka kita dapat menyelesaikan anjak piutang dengan pengelompokan. Jika kita mendapatkan sesuatu yang lain, maka faktorisasi dengan pengelompokan tidak akan berfungsi.

Dalam hal ini kita dapatkan # 6x + 15 = 3 (2x + 5) #. Hampir !, Tapi menutup tidak berfungsi dalam memfaktorkan dengan pengelompokan. Jadi kita tidak bisa menyelesaikan ini dengan pengelompokan.

Contoh 3 Anda melakukan pekerjaan pembuat tes.

Saya ingin masalah yang DAPAT difaktorkan dengan pengelompokan.

Saya mulai dengan # 12x ^ 3-28x ^ 2 # Jadi, jika BISA difaktorkan dengan pengelompokan, sisanya harus terlihat seperti apa?

Itu harus menjadi zaman monomial # (3x-7) #.

Jadi finishing dengan # 6x-14 # akan bekerja, atau # 15x-35 #, atau saya bisa menjadi rumit dan digunakan # -9x + 21 #. Bahkan, berapa pun kali # (3x-7) # ditambahkan ke apa yang sudah saya miliki akan memberi saya polinomial yang dapat diperhitungkan dengan pengelompokan.

# 12x ^ 3-28x ^ 2 + k3x-k7 # untuk apa saja # k # dapat difaktorkan sebagai:

# 12x ^ 3-28x ^ 2 + 3kx-7k = 4x ^ 2 (3x-7) + k (3x-7) = (4x ^ 2 + k) (3x-7) #

Catatan akhir: # k = -1 # atau # k = -9 # akan membuat pilihan yang baik. Karena dengan demikian faktor fisrt adalah selisih 2 kuadrat dan dapat difaktorkan.

Ketika polinomial dibagi dengan (x + 2), sisanya adalah -19. Ketika polinomial yang sama dibagi dengan (x-1), sisanya adalah 2, bagaimana Anda menentukan sisanya ketika polinomial dibagi dengan (x + 2) (x-1)?

Kita tahu bahwa f (1) = 2 dan f (-2) = - 19 dari Teorema Sisa Sekarang temukan sisa polinom f (x) ketika dibagi dengan (x-1) (x + 2) Sisa dari bentuk Ax + B, karena merupakan sisa setelah pembagian oleh kuadrat. Kita sekarang dapat mengalikan pembagi kali dengan hasil bagi Q ... f (x) = Q (x-1) (x + 2) + Ax + B Selanjutnya, masukkan 1 dan -2 untuk x ... f (1) = Q (1-1) (1 + 2) + A (1) + B = A + B = 2 f (-2) = Q (-2-1) (- 2 + 2) + A (-2) + B = -2A + B = -19 Memecahkan dua persamaan ini, kita mendapatkan A = 7 dan B = -5 Sisa = Ax + B = 7x-5

Ketika polinomial memiliki empat istilah dan Anda tidak dapat memfaktorkan sesuatu dari semua istilah, atur ulang polinomial sehingga Anda dapat memfaktorkan dua istilah sekaligus. Kemudian tuliskan dua binomial yang akhirnya Anda miliki. (4ab + 8b) - (3a + 6)?

(a + 2) (4b-3) "langkah pertama adalah menghapus tanda kurung" rArr (4ab + 8b) (merah) (- 1) (3a + 6) = 4ab + 8b-3a-6 "sekarang memfaktorkan istilah dengan 'mengelompokkan' mereka "warna (merah) (4b) (a + 2) warna (merah) (- 3) (a + 2)" mengambil "(a + 2)" sebagai faktor umum dari masing-masing kelompok "= (a + 2) (warna (merah) (4b-3)) rR (4ab + 8b) - (3a + 6) = (a + 2) (4b-3) warna (biru)" Sebagai tanda centang " (a + 2) (4b-3) larr "ekspansi menggunakan FOIL" = 4ab-3a + 8b-6larr "dibandingkan dengan ekspansi di atas"

Ketika polinomial memiliki empat istilah dan Anda tidak dapat memfaktorkan sesuatu dari semua istilah, atur ulang polinomial sehingga Anda dapat memfaktorkan dua istilah sekaligus. Kemudian tulis dua binomial yang Anda miliki. (6y ^ 2-4y) + (3y-2)?

(3y-2) (2y + 1) Mari kita mulai dengan ekspresi: (6y ^ 2-4y) + (3y-2) Perhatikan bahwa saya dapat memperhitungkan 2y dari istilah kiri dan itu akan meninggalkan 3y-2 di dalam bracket: 2y (3y-2) + (3y-2) Ingatlah bahwa saya dapat mengalikan apa pun dengan 1 dan mendapatkan hal yang sama. Jadi saya dapat mengatakan bahwa ada 1 di depan istilah yang tepat: 2y (3y-2) +1 (3y-2) Apa yang sekarang dapat saya lakukan adalah faktor 3y-2 dari istilah kanan dan kiri: (3y -2) (2th + 1) Dan sekarang ungkapan itu diperhitungkan!