Bagaimana Anda menemukan area yang dibatasi oleh kurva y = -4sin (x) dan y = sin (2x) selama interval tertutup dari 0 hingga pi?

Menjawab:

Evaluasi

# int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Area adalah: #8#

Penjelasan:

Area antara dua fungsi kontinu #f (x) # dan #g (x) # lebih #x dalam a, b # aku s:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Karena itu, kita harus temukan kapan #f (x)> g (x) #

Biarkan kurva menjadi fungsinya:

#f (x) = - 4sin (x) #

#g (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Mengetahui bahwa #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Dibagi dengan #2# yang positif:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Dibagi dengan # sinx # tanpa membalikkan tandanya, sejak #sinx> 0 # untuk setiap #x in (0, π) #

# -2> cos (x) #

Yang tidak mungkin, karena:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Jadi pernyataan awal tidak mungkin benar. Karena itu, #f (x) <= g (x) # untuk setiap #x dalam 0, π #

Integral dihitung:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1 / 2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1 / 2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#