Bagaimana Anda menemukan antiderivatif dx / (cos (x) - 1)?

Menjawab:

Lakukan multiplikasi konjugasi, terapkan beberapa trigonometri, dan selesaikan untuk mendapatkan hasil # int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Penjelasan:

Seperti kebanyakan masalah jenis ini, kami akan menyelesaikannya menggunakan trik multiplikasi konjugasi. Setiap kali Anda memiliki sesuatu dibagi dengan sesuatu plus / minus sesuatu (seperti dalam # 1 / (cosx-1) #), selalu membantu untuk mencoba perkalian konjugasi, terutama dengan fungsi trigonometri.

Kami akan mulai dengan mengalikan # 1 / (cosx-1) # oleh konjugasi # cosx-1 #, yang mana # cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Anda mungkin bertanya-tanya mengapa kami melakukan ini. Ini agar kami dapat menerapkan perbedaan properti kuadrat, # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #, dalam penyebut, untuk menyederhanakannya sedikit. Kembali ke masalah:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#color (putih) (III) acolor (putih) (XXX) bcolor (putih) (XXX) acolor (putih) (XXX) b #

Perhatikan bagaimana ini pada dasarnya # (a-b) (a + b) #.

# = (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Sekarang bagaimana # cos ^ 2x-1 #? Ya, kita tahu # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Mari kita gandakan dengan #-1# dan lihat apa yang kita dapatkan:

# -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = cos ^ 2-1 #

Ternyata itu # -sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, jadi mari kita ganti # cos ^ 2x-1 #:

# (cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

Ini setara dengan # cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, yang, menggunakan beberapa trigonometri, bermuara pada # -cotxcscx-csc ^ 2x #.

Pada titik ini, kami telah menyederhanakan menjadi integral # int1 / (cosx-1) dx # untuk # int-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. Menggunakan aturan penjumlahan, ini menjadi:

# int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

Yang pertama adalah # cscx # (karena turunan dari # cscx # aku s # -cotxcscx #) dan yang kedua adalah # cotx # (karena turunan dari # cotx # aku s # -csc ^ 2x #). Tambahkan pada konstanta integrasi # C # dan Anda punya solusi:

# int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Bagaimana Anda menemukan antiderivatif (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Arctan (e ^ x) + C "tulis" e ^ x "dx sebagai" d (e ^ x) ", maka kita memperoleh" int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2 ) "dengan substitusi y =" e ^ x ", kita mendapatkan" int (d (y)) / (1 + y ^ 2) "yang sama dengan" arctan (y) + C "Sekarang ganti kembali" y = e ^ x: arctan (e ^ x) + C

Bagaimana Anda menemukan antiderivatif dari Cosx / Sin ^ 2x?

-cosecx + C I = intcosx / sin ^ 2xdx = int1 / sinx * cosx / sinxdx I = intcscx * cotxdx = -cscx + C

Bagaimana Anda menemukan antiderivatif cos ^ 4 (x) dx?

Anda ingin membaginya menggunakan identitas trigonometri untuk mendapatkan integral yang bagus dan mudah. cos ^ 4 (x) = cos ^ 2 (x) * cos ^ 2 (x) Kita dapat menangani cos ^ 2 (x) dengan cukup mudah dengan mengatur ulang rumus cosinus sudut ganda. cos ^ 4 (x) = 1/2 (1 + cos (2x)) * 1/2 (1 + cos (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + 1/2 (1 + cos (4x))) cos ^ 4 (x) = 3/8 + 1/2 * cos (2x) + 1/8 * cos (4x) Jadi, int cos ^ 4 (x) dx = 3/8 * int dx + 1/2 * int cos (2x) dx + 1/8 * int cos (4x ) dx int cos ^ 4 (x) dx = 3 / 8x + 1/4 * sin (2x) + 1/32 * sin (4x) + C