Bagaimana Anda menemukan antiderivatif (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Menjawab:

#arctan (e ^ x) + C #

Penjelasan:

# "tulis" e ^ x "dx sebagai" d (e ^ x) ", maka kita memperoleh" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "dengan substitusi y =" e ^ x ", kita dapat" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "yang sama dengan" #

#arctan (y) + C #

# "Sekarang ganti kembali" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Menjawab:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Penjelasan:

Kami ingin menemukan # inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Sekarang mari # u = e ^ x # dan mengambil diferensial di kedua sisi memberi # du = e ^ xdx #. Sekarang kita mengganti kedua persamaan ini menjadi integral untuk mendapatkan

# int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Ini adalah integral standar yang dievaluasi untuk # arctanu #. Mengganti kembali untuk # x # kami mendapatkan jawaban akhir:

#arctan e ^ x + "c" #

Menjawab:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Penjelasan:

Pertama, kita biarkan # u = 1 + e ^ (2x) #. Untuk mengintegrasikan sehubungan dengan # u #, kami bagi dengan turunan dari # u #, yang mana # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

Untuk mengintegrasikan sehubungan dengan # u #, kita perlu semuanya dinyatakan dalam istilah # u #, jadi kita perlu memecahkan untuk apa # e ^ x # dalam hal # u #:

# u = 1 + e ^ (2x) #

# e ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2ln (u-1) #

# x = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Sekarang kita bisa pasang ini kembali ke integral:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

Selanjutnya kami akan memperkenalkan substitusi dengan # z = sqrt (u-1) #. Derivatifnya adalah:

# (dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

jadi kami membaginya untuk diintegrasikan # z # (ingat bahwa pembagian sama dengan mengalikan dengan timbal balik):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Sekarang, kita sekali lagi kita memiliki variabel yang salah, jadi kita perlu menyelesaikan apa # u # sama dengan dalam hal # z #:

# z = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

Ini memberi:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Ini adalah turunan umum dari # tan ^ -1 (z) #, jadi kami mendapatkan:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Membatalkan semua penggantian, kita mendapatkan:

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = tan ^ -1 (e ^ x) + C #