Lingkaran A memiliki pusat di (3, 5) dan area 78 pi. Lingkaran B memiliki pusat di (1, 2) dan area 54 pi. Apakah lingkaran tumpang tindih?

Menjawab:

iya nih

Penjelasan:

Pertama, kita membutuhkan jarak antara dua pusat, yaitu # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 #

Sekarang kita perlu jumlah jari-jari, karena:

#D> (r_1 + r_2); "Lingkaran tidak tumpang tindih" #

# D = (r_1 + r_2); "Lingkaran sentuh saja" #

#D <(r_1 + r_2); "Lingkaran saling tumpang tindih" #

# pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# r_1 "" ^ 2 = 78 #

# r_1 = sqrt78 #

# pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# r_2 "" ^ 2 = 54 #

# r_2 = sqrt54 #

# sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#, jadi lingkaran tumpang tindih.

Bukti:

grafik {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36, 12.64}

Menjawab:

Ini tumpang tindih jika #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}. #

Kita dapat melewati kalkulator dan memeriksa # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # atau #4(13)(54) > 11^2# yang pasti, jadi ya, tumpang tindih.

Penjelasan:

Area lingkaran tentu saja #pi r ^ 2 # jadi kami membagi yang serampangan # pi #s.

Kami memiliki jari kuadrat

# r_1 ^ 2 = 78 #

# r_2 ^ 2 = 54 #

dan jarak kuadrat antara pusat

# d ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

Pada dasarnya kami ingin tahu apakah # r_1 + r_2 ge d #, yaitu jika kita dapat membuat segitiga dari dua jari-jari dan ruas di antara pusat-pusat.

Panjang kuadrat adalah semua bilangan bulat yang bagus dan cukup gila bahwa kita semua secara naluriah meraih kalkulator atau komputer dan mulai mengambil akar kuadrat.

Kita tidak harus melakukannya, tetapi itu membutuhkan jalan memutar. Mari kita gunakan rumus Heron, panggil area # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # dimana # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((a + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Itu sudah lebih baik dari Bangau. Tapi kami melanjutkan. Saya akan melewatkan beberapa kebosanan.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Itu simetris, seperti yang kita harapkan untuk formula area. Mari kita membuatnya tampak kurang simetris. Penarikan

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

Menambahkan, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

Itu adalah rumus untuk area kuadrat dari segitiga mengingat panjang sisi kuadrat. Ketika yang terakhir rasional, begitu juga yang pertama.

Mari kita coba. Kami bebas menetapkan sisi-sisi sesuka kami; untuk perhitungan tangan yang terbaik untuk dilakukan # c # sisi terbesar, # c ^ 2 = 78 #

# a ^ 2 = 54 #

# b ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Bahkan sebelum menghitungnya lagi, kita dapat melihat bahwa kita memiliki positif # 16Q ^ 2 # jadi segitiga nyata dengan area positif, sehingga tumpang tindih lingkaran.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Jika kita mendapatkan nilai negatif, area imajiner, itu bukan segitiga sungguhan, jadi lingkaran yang tidak tumpang tindih.