Lingkaran A memiliki pusat di (6, 5) dan area 6 pi. Lingkaran B memiliki pusat di (12, 7) dan area 48 pi. Apakah lingkaran tumpang tindih?

Menjawab:

Sejak

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # dan

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

kita bisa membuat segitiga nyata dengan sisi kuadrat 48, 6 dan 40, sehingga lingkaran ini berpotongan.

Penjelasan:

Kenapa serampangan # pi #?

Daerah itu #A = pi r ^ 2 # begitu # r ^ 2 = A / pi. # Jadi lingkaran pertama memiliki jari-jari # r_1 = sqrt {6} # dan yang kedua # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Pusatnya adalah #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # selain.

Jadi lingkaran tumpang tindih jika #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

Itu sangat buruk sehingga Anda akan dimaafkan karena meraih kalkulator. Tapi itu benar-benar tidak perlu. Mari kita mengambil jalan memutar dan melihat bagaimana hal ini dilakukan dengan menggunakan Trigonometri Rasional. Di sana kami hanya peduli dengan panjang kuadrat, yang disebut kuadran.

Katakanlah kita ingin menguji apakah tiga kuadran # A, B, C # adalah kuadran antara tiga titik collinear, yaitu #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # atau #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # atau #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Kami akan menuliskannya sebagai

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

Mengkuadratkan, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = sore 2 sqrt {AB} #

Mengkuadratkan lagi, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Ternyata

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

adalah diskriminan untuk segitiga. Kami hanya menunjukkan jika #mathcal {A} = 0 # itu berarti kita memiliki segitiga yang merosot, terbentuk dari tiga titik collinear. Jika #mathcal {A}> 0 # maka kita punya segitiga nyata, masing-masing pihak kurang dari jumlah dua lainnya. Jika #mathcal {A} <0 # kita tidak memiliki sisi yang memenuhi ketidaksetaraan segitiga, dan kadang-kadang kita menyebutnya sebagai segitiga imajiner.

Mari kita kembali ke pertanyaan kita yang dipersenjatai dengan diskriminan segitiga baru kita #mathcal {A} #. Jika lingkaran berpotongan kita kita dapat membuat segitiga dari dua pusat dan persimpangan, sehingga sisi-sisinya akan memiliki panjang # r_1 #, # r_2 #, dan jarak antara pusat #(6,5)# dan #(12,7)#. Kita punya

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # jadi kami memiliki segitiga nyata, yaitu lingkaran yang tumpang tindih.

Oh ya, untuk segitiga apa pun #mathcal {A} = 16 (teks {area}) ^ 2. #

Periksa: Alpha