Apa ekstrem dari f (x) = 3x-1 / sinx pada [pi / 2, (3pi) / 4]?

Menjawab:

Minimum absolut pada domain muncul kira-kira. # (pi / 2, 3.7124) #, dan maks absolut pada domain terjadi pada kira-kira. # (3pi / 4, 5.6544) #. Tidak ada tambahan lokal.

Penjelasan:

Sebelum kita mulai, kita perlu menganalisis dan melihat apakah #sin x # mengambil nilai #0# kapan saja pada interval. #sin x # adalah nol untuk semua x sehingga #x = npi #. # pi / 2 # dan # 3pi / 4 # keduanya kurang dari # pi # dan lebih besar dari # 0pi = 0 #; demikian, #sin x # tidak mengambil nilai nol di sini.

Untuk menentukan ini, ingat bahwa suatu ekstrim terjadi di mana pun #f '(x) = 0 # (poin kritis) atau di salah satu titik akhir. Dalam pemikiran ini, kami mengambil turunan dari f (x) di atas, dan menemukan titik di mana turunan ini sama dengan 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Bagaimana kita memecahkan masalah terakhir ini?

Pertimbangkan secara singkat aturan timbal balik, yang dikembangkan untuk menangani situasi seperti masa jabatan terakhir kami di sini, # d / (dx) (1 / sin x) #. Aturan timbal balik memungkinkan kita untuk memotong secara langsung menggunakan aturan rantai atau hasil bagi dengan menyatakan bahwa diberikan fungsi yang dapat dibedakan #g (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

kapan #g (x)! = 0 #

Kembali ke persamaan utama kami, kami pergi dengan;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Sejak #sin (x) # dapat dibedakan, kita dapat menerapkan aturan timbal balik di sini:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Pengaturan ini sama dengan 0, kami tiba di:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Ini hanya dapat terjadi ketika #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. Dari sini mungkin sebaiknya kita menggunakan salah satu definisi trigonometri, khususnya # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Ini menyerupai polinomial, dengan #cos x # mengganti x tradisional kami. Demikian kami umumkan #cos x = u # dan…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Menggunakan rumus kuadratik di sini …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Akar kami muncul di #u = (1 + -sqrt37) / 6 # Menurut Ini. Namun, salah satu dari akar ini (# (1 + sqrt37) / 6 #) tidak dapat menjadi root untuk #cos x # karena root lebih besar dari 1, dan # -1 <= cosx <= 1 # untuk semua x. Root kedua kami, di sisi lain, menghitung sekitar #-.847127#. Namun, ini kurang dari nilai minimum #cos x # fungsi dapat pada interval (sejak #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. Demikian, tidak ada titik kritis dalam domain.

Dalam pikiran ini, kita harus kembali ke titik akhir kita dan memasukkannya ke dalam fungsi aslinya. Dengan melakukan itu, kami memperoleh #f (pi / 2) sekitar 3,7124, f (3pi / 4) sekitar 5,6544 #

Dengan demikian, minimum absolut kami pada domain adalah sekitar # (pi / 2, 3.7124), # dan maksimum kami adalah sekitar # (3pi / 4, 5.6544) #