Tanpa grafik, bagaimana Anda memutuskan apakah sistem persamaan linear berikut memiliki satu solusi, banyak solusi atau tidak ada solusi?

Menjawab:

Suatu sistem # N # persamaan linear dengan # N # variabel tidak dikenal yang tidak mengandung ketergantungan linear antara persamaan (dengan kata lain, itu penentu tidak nol) akan memiliki satu dan hanya satu solusi.

Penjelasan:

Mari kita pertimbangkan sistem dua persamaan linear dengan dua variabel yang tidak diketahui:

# Ax + By = C #

# Dx + Ey = F #

Jika berpasangan # (A, B) # tidak sebanding dengan pasangan # (D, E) # (Yaitu, tidak ada nomor seperti itu # k # bahwa # D = kA # dan # E = kB #, yang dapat diperiksa berdasarkan kondisi # A * E-B * D! = 0 #) maka ada satu dan hanya satu solusi:

# x = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

Contoh:

# x + y = 3 #

# x-2y = -3 #

Larutan:

# x = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Jika berpasangan # (A, B) # sebanding dengan pasangan # (D, E) # (Yang berarti ada nomor seperti itu # k # bahwa # D = kA # dan # E = kB #, yang dapat diperiksa oleh suatu kondisi # A * E-B * D = 0 #), ada dua kasus:

(a) jumlah solusi yang tidak terbatas jika # C # dan # F # proporsional dengan koefisien yang sama dengan #SEBUAH# dan # D #, itu adalah # F = kC #dimana # k # adalah koefisien proporsionalitas yang sama;

Contoh:

# x + y = 3 #

# 2x + 2th = 6 #

Sini # k = 2 # untuk semua pasangan: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

Persamaan kedua adalah konsekuensi sepele dari yang pertama (hanya gandakan persamaan pertama dengan #2#) dan, oleh karena itu, tidak memberikan informasi tambahan tentang tidak dikenal, mengurangi jumlah persamaan, secara efektif, menjadi 1.

(B) tidak ada solusi sama sekali, jika #F! = KC #

Contoh:

# x + 4y = 3 #

# 2x + 8th = 5 #

Dalam hal ini persamaan saling bertentangan karena, dengan mengalikan yang pertama dengan 2, kita diturunkan ke persamaan # 2x + 8th = 6 #, yang tidak dapat memiliki solusi bersama # 2x + 8th = 5 # karena bagian kiri dari kedua persamaan ini adalah sama, tetapi bagian yang tepat tidak.