Misalkan V = R³ dan W = {(x, y, z) x + y + z = 0} menjadi subruang dari V. Manakah dari pasangan vektor berikut ini dalam coset yang sama dengan W dalam V? (i) (1,3,2) dan (2,2,2). (ii) (1,1,1) dan (3,3,3).

Menjawab:

# #

# mbox {i)} (1,3,2) mbox {and} (2,2,2): #

# qquad qquad qquad mbox {milik coset yang sama dari} W. #

# mbox {ii)} (1,1,1) mbox {and} (3,3,3): #

# qquad qquad qquad mbox {bukan milik coset yang sama dari} W. #

Penjelasan:

# #

# mbox {1) Perhatikan bahwa, dengan diberikan pada} W, mbox {kami dapat menjelaskan} mbox {elemen-elemen} W mbox {sebagai vektor-vektor dari} V mbox {di mana} mbox {jumlah koordinatnya} 0. #

# #

# mbox {2) Sekarang ingat bahwa:} #

# mbox {dua vektor milik coset yang sama pada setiap subruang}}

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff #

# qquad mbox {perbedaannya adalah milik subruang itu sendiri}. #

# #

# mbox {3) Jadi untuk menentukan keanggotaan dalam coset yang sama dari} W, mbox {perlu dan cukup untuk menentukan apakah} mbox {perbedaan vektor-vektor itu milik} W: #

# qquad vec {v_1}, vec {v_2} di mbox {coset yang sama dari} W quad iff quad vec {v_1} - vec {v_2} in W. #

# #

# mbox {Oleh karena itu, dengan uraian} W mbox {in (1) di atas, kami memiliki:} #

# vec {v_1}, vec {v_2} di mbox {coset yang sama dari} W quad iff quad mbox {jumlah koordinat} (vec {v_1} - vec {v_2}) = 0. #

# #

# mbox {Ini masalah perhitungan sederhana ini.} #

# #

# 4) mbox {Melanjutkan dengan dua pasang vektor yang diberikan, dan} mbox {melakukan perhitungan ini pada setiap pasangan, kami menemukan: #

# quad mbox {i)} (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0), mbox {and so} #

# qquad qquad mbox {jumlah dari koordinat} quad (-1,1,0) = 0. #

# mbox {Karenanya:} qquad qquad qquad (1,3,2) mbox {and} (2,2,2) #

# qquad qquad qquad qquad mbox {milik coset yang sama dari} W. #

# #

# quad mbox {ii)} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2), mbox {and so} #

# qquad qquad mbox {jumlah koordinat} quad (2,2,2) = 6 ne 0. #

# mbox {Karenanya:} qquad qquad qquad (1,1,1) mbox {and} (3,3,3) #

# qquad quad quad mbox {bukan milik coset yang sama dari} W. #