Apa sisa dari p 12 ^ (p-1), ketika p prima?

Menjawab:

Sisanya sama dengan #0# kapan # p # juga #2# atau #3#, dan itu sama dengan #1# untuk semua bilangan prima lainnya.

Penjelasan:

Pertama-tama masalah ini dapat dinyatakan kembali karena harus menemukan nilai # 12 ^ (p-1) mod p # dimana # p # adalah bilangan prima.

Untuk mengatasi masalah ini, Anda perlu tahu Teorema Euler. Teorema Euler menyatakan itu #a ^ { varphi (n)} - = 1 mod n # untuk bilangan bulat apa pun #Sebuah# dan # n # yang coprime (Mereka tidak berbagi faktor apa pun). Anda mungkin bertanya-tanya apa # varphi (n) # aku s. Ini sebenarnya adalah fungsi yang dikenal sebagai fungsi totient. Didefinisikan sama dengan jumlah bilangan bulat # <= n # sedemikian rupa sehingga bilangan bulat itu adalah koprime # n #. Perlu diingat bahwa angkanya #1# dianggap coprime untuk semua bilangan bulat.

Sekarang kita tahu Teorema Euler, kita bisa menyelesaikan masalah ini.

Perhatikan bahwa semua bilangan prima selain #2# dan #3# coprime dengan #12#. Mari kita sisihkan 2 dan 3 untuk nanti dan fokus pada sisa bilangan prima. Karena bilangan prima lainnya adalah koprime ke 12, kita dapat menerapkan Teorema Euler pada mereka:

# 12 ^ { varphi (p)} - = 1 mod p #

Sejak # p # adalah bilangan prima, # varphi (p) = p-1 #. Ini masuk akal karena setiap bilangan yang kurang dari bilangan prima akan dimusuhi.

Karena itu, sekarang kita miliki # 12 ^ {p-1} - = 1 mod p #

Ungkapan di atas dapat diterjemahkan ke # 12 ^ {p-1} # dibagi dengan # p # memiliki sisa #1#.

Sekarang kita hanya perlu menjelaskan #2# dan #3#, yang seperti yang Anda katakan sebelumnya, keduanya memiliki sisa #0#.

Karena itu, secara keseluruhan kami telah membuktikannya # 12 ^ {p-1} # dibagi dengan # p # dimana # p # adalah bilangan prima yang memiliki sisa #0# kapan p baik #2# atau #3# dan memiliki sisa #1# jika tidak.