Apa domain dan rentang (2/3) ^ x - 9?

Menjawab:

Domain: # (- oo, oo) #

Jarak: # (- 9, oo) #

Penjelasan:

Perhatikan dulu itu # (2/3) ^ x-9 # didefinisikan dengan baik untuk setiap nilai nyata # x #. Jadi domainnya adalah keseluruhan # RR #, yaitu # (- oo, oo) #

Sejak #0 < 2/3 < 1#, fungsinya # (2/3) ^ x # adalah fungsi yang menurun secara eksponensial yang mengambil nilai positif besar ketika # x # besar dan negatif, dan asimptotik #0# untuk nilai positif besar # x #.

Dalam notasi batas, kita dapat menulis:

#lim_ (x -> - oo) (2/3) ^ x = -oo #

#lim_ (x-> oo) (2/3) ^ x = 0 #

# (2/3) ^ x # terus menerus dan sangat menurun secara monoton, sehingga jangkauannya adalah # (0, oo) #.

Mengurangi #9# untuk menemukan kisaran # (2/3) ^ x # aku s # (- 9, oo) #.

Membiarkan:

#y = (2/3) ^ x-9 #

Kemudian:

# y + 9 = (2/3) ^ x #

Jika #y> -9 # maka kita dapat mengambil log dari kedua sisi untuk menemukan:

#log (y + 9) = log ((2/3) ^ x) = x log (2/3) #

dan karenanya:

#x = log (y + 9) / log (2/3) #

Jadi untuk apa pun #y in (-9, oo) # kita dapat menemukan yang sesuai # x # seperti yang:

# (2/3) ^ x-9 = y #

Itu menegaskan bahwa rentang adalah keseluruhan # (- 9, oo) #.

Apa domain dan rentang 3x-2 / 5x + 1 dan domain serta rentang invers dari fungsi?

Domain adalah semua real kecuali -1/5 yang merupakan rentang kebalikannya. Rentang adalah semua real kecuali 3/5 yang merupakan domain dari invers. f (x) = (3x-2) / (5x + 1) didefinisikan dan nilai riil untuk semua x kecuali -1/5, sehingga itu adalah domain f dan rentang f ^ -1 Pengaturan y = (3x -2) / (5x + 1) dan penyelesaian untuk x menghasilkan 5xy + y = 3x-2, jadi 5xy-3x = -y-2, dan karena itu (5y-3) x = -y-2, jadi, akhirnya x = (- y-2) / (5y-3). Kami melihat bahwa y! = 3/5. Jadi kisaran f adalah semua real kecuali 3/5. Ini juga domain dari f ^ -1.

Jika fungsi f (x) memiliki domain -2 <= x <= 8 dan rentang -4 <= y <= 6 dan fungsi g (x) didefinisikan oleh rumus g (x) = 5f ( 2x)) lalu apa domain dan jangkauan g?

Di bawah. Gunakan transformasi fungsi dasar untuk menemukan domain dan rentang baru. 5f (x) berarti bahwa fungsi tersebut diregangkan secara vertikal dengan faktor lima. Oleh karena itu, rentang baru akan span interval yang lima kali lebih besar daripada yang asli. Dalam kasus f (2x), peregangan horizontal dengan faktor setengah diterapkan pada fungsi. Oleh karena itu ekstremitas domain dibelah dua. Dan lagi!

Jika f (x) = 3x ^ 2 dan g (x) = (x-9) / (x + 1), dan x! = - 1, lalu apa yang akan f (g (x)) sama? g (f (x))? f ^ -1 (x)? Apa yang akan menjadi domain, rentang, dan nol untuk f (x)? Apa yang akan menjadi domain, rentang, dan nol untuk g (x)?

F (g (x)) = 3 ((x-9) / (x + 1)) ^ 2 g (f (x)) = (3x ^ 2-9) / (3x ^ 2 + 1) f ^ - 1 (x) = root () (x / 3) D_f = {x dalam RR}, R_f = {f (x) dalam RR; f (x)> = 0} D_g = {x dalam RR; x! = - 1}, R_g = {g (x) dalam RR; g (x)! = 1}