Bagaimana Anda membuktikan arcsin x + arccos x = pi / 2?

Menjawab:

seperti yang ditunjukkan

Penjelasan:

Membiarkan

# arcsinx = theta #

kemudian

# x = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Menjawab:

Pernyataan ini benar ketika fungsi trigonometri terbalik merujuk pada nilai-nilai utama, tetapi itu membutuhkan perhatian yang lebih hati-hati untuk ditampilkan daripada jawaban yang diberikan lainnya.

Ketika fungsi trigonometri terbalik dianggap multinilai, kami mendapatkan hasil yang lebih bernuansa, misalnya

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # tapi #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Kita harus mengurangi untuk mendapatkannya # pi / 2 #.

Penjelasan:

Yang ini lebih sulit dari yang terlihat. Jawaban lainnya tidak membayarnya dengan hormat.

Sebuah konvensi umum adalah menggunakan huruf kecil #arccos (x) # dan #arcsin (x) # sebagai ekspresi multinilai, masing-masing masing-masing menunjukkan semua nilai yang cosinus atau sinusnya memiliki nilai yang diberikan # x #.

Arti dari jumlah itu adalah benar-benar setiap kombinasi yang mungkin, dan mereka tidak akan selalu memberi # pi / 2. # Mereka bahkan tidak akan selalu memberikan salah satu dari sudut coterminal # pi / 2 + 2pi k quad # bilangan bulat # k #, seperti yang akan kita tunjukkan sekarang.

Mari kita lihat cara kerjanya dengan fungsi trigonometri terbalik multivalued terlebih dahulu. Ingat secara umum # cos x = cos a # punya solusi # x = pm a + 2pi k quad # bilangan bulat # k #.

# c = arccos x # sangat berarti

#x = cos c #

#s = arcsin x # sangat berarti

#x = sin s #

#y = s + c #

# x # memainkan peran parameter nyata yang menyapu #-1# untuk #1#. Kami ingin menyelesaikannya # y #, temukan semua nilai yang mungkin dari # y # yang memiliki #x, s # dan # c # yang membuat persamaan simultan ini #x = cos c, x = sin s, y = s + c # benar.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Kami menggunakan solusi umum kami di atas tentang persamaan cosinus.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # bilangan bulat # k #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Jadi kita mendapatkan hasil yang jauh lebih samar, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Diperbolehkan untuk mengaktifkannya # k. #)

Mari kita fokus sekarang pada nilai-nilai utama, yang saya tulis dengan huruf kapital:

Menunjukkan #text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 #

Pernyataan ini memang benar untuk nilai-nilai utama yang didefinisikan dengan cara biasa.

Jumlahnya hanya ditentukan (sampai kita mendapatkan angka yang cukup dalam) untuk # -1 le x le 1 # karena sinus dan cosinus yang valid berada dalam kisaran itu.

Kami akan melihat setiap sisi yang setara

# text {Arc} text {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) #

Kami akan mengambil cosinus dari kedua belah pihak.

#cos (teks {Arc} teks {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)) = sin (text {Arc} text {sin} (x)) = x #

Jadi tanpa khawatir tentang tanda-tanda atau nilai-nilai utama kami yakin

#cos (teks {Arc} teks {cos} (x)) = cos (pi / 2 - teks {Arc} teks {sin} (x)) #

Bagian yang rumit, bagian yang patut dihormati, adalah langkah selanjutnya:

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad # BELUM YAKIN

Kita harus melangkah dengan hati-hati. Mari kita ambil yang positif dan negatif # x # terpisah.

Pertama # 0 le x le 1 #. Itu berarti nilai-nilai utama dari kedua fungsi trigonometri terbalik berada di kuadran pertama, antara #0# dan # pi / 2. # Dibatasi ke kuadran pertama, cosinus yang sama menyiratkan sudut yang sama, jadi kami menyimpulkan untuk #x ge 0, #

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

Sekarang # -1 le x <0. # Nilai utama dari tanda terbalik adalah di kuadran keempat, dan untuk #x <0 # kami biasanya menentukan nilai pokok dalam rentang

# - pi / 2 le text {Arc} text {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - text {Arc} text {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - teks {Arc} teks {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - teks {Arc} teks {sin} (x) le pi #

Nilai utama untuk cosinus terbalik negatif adalah kuadran kedua, # pi / 2 <text {Arc} text {cos} (x) le pi #

Jadi kita memiliki dua sudut di kuadran kedua yang cosinusnya sama, dan kita bisa menyimpulkan sudutnya sama. Untuk #x <0 #, #text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

Jadi, # text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #