Apa itu int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Menjawab:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Penjelasan:

Penjelasan ini agak panjang, tetapi saya tidak dapat menemukan cara yang lebih cepat untuk melakukannya …

Integral adalah aplikasi linier, jadi Anda sudah dapat membagi fungsi di bawah tanda integral.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

2 istilah pertama adalah fungsi polinomial, sehingga mudah untuk diintegrasikan. Saya tunjukkan cara melakukannya # x ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # begitu # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Anda melakukan hal yang sama persis untuk # x ^ 3 #, hasilnya adalah #255/4#.

Temuan #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # agak panjang dan rumit. Pertama, Anda kalikan fraksi dengan #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # dan kemudian Anda mengubah variabel: katakanlah #u = sqrt (x-1) #. Begitu # du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # dan sekarang Anda harus menemukannya # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. Untuk menemukannya, Anda memerlukan dekomposisi fraksi parsial dari fungsi rasional # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # dengan # a, b, c, d dalam RR #. Setelah kalkulus, kami mengetahuinya # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, yang artinya # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # terkenal, itu #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Akhirnya, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

Anda ganti # u # oleh ekspresi aslinya dengan # x # memiliki #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, yang mana #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Jadi akhirnya, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #