Apa domain dan rentang f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Menjawab:

Domainnya adalah # RR # (semua bilangan real) dan kisarannya adalah # 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #

(semua bilangan real antara dan termasuk # (5-sqrt (61)) / 72 # dan # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Penjelasan:

Dalam domain, kita mulai dengan semua bilangan real, dan kemudian menghapus yang akan memaksa kita untuk memiliki akar kuadrat dari angka negatif, atau #0# dalam penyebut sebagian.

Sekilas, kita tahu itu sebagai # x ^ 2> = 0 # untuk semua bilangan real, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Jadi penyebut tidak akan #0# untuk bilangan real apa pun # x #, artinya domain menyertakan setiap bilangan real.

Untuk rentang, cara termudah untuk menemukan nilai-nilai di atas melibatkan beberapa kalkulus dasar. Meskipun lebih panjang, namun mungkin juga untuk menemukan mereka hanya menggunakan aljabar, dengan metode yang dirinci di bawah ini.

Dimulai dengan fungsi #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # kami ingin menemukan semua nilai yang mungkin dari #f (x) #. Ini sama dengan menemukan domain fungsi terbalik # f ^ -1 (x) # (fungsi dengan properti # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Sayangnya, kebalikan dari #f (x) # dalam hal ini bukan fungsi, karena mengembalikan 2 nilai, namun idenya masih sama. Kami akan mulai dengan persamaan #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # dan pecahkan untuk # x # untuk menemukan kebalikannya. Selanjutnya, kita akan melihat nilai yang mungkin dari # y # untuk menemukan domain kebalikannya, dan karenanya rentang fungsi aslinya.

Memecahkan untuk # x #:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

Mengobati # y # sebagai konstanta, kami menerapkan rumus kuadratik

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

untuk memperoleh

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

Kita sekarang perlu menemukan domain dari ekspresi di atas (perhatikan bahwa itu bukan fungsi karena #+-#). Perhatikan bahwa dengan membaginya dengan # y # dalam rumus kuadratik, kami kehilangan kemungkinan # y = 0 #, yang jelas dimungkinkan dalam persamaan asli (untuk #x = -5 #). Dengan demikian kita akan mengabaikan # y # di penyebut terbalik, dan hanya fokus pada akar kuadrat.

Seperti yang disebutkan sebelumnya, kami tidak mengizinkan akar kuadrat dari nilai kurang dari 0, dan karenanya kami memiliki batasan

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Menggunakan rumus kuadrat pada # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # kami menemukan, setelah penyederhanaan, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Akhirnya, kita bisa mengatakannya sebagai # | y | # tumbuh besar, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # akan kurang dari #0#. Jadi kami hanya mempertimbangkan interval antara

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # dan #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Jadi nilai yang diizinkan untuk # y #, dan dengan demikian kisaran untuk #f (x) #, aku s

# 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #