Apa domain dan rentang f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

Menjawab:

Domain: seluruh garis nyata

Jarak: #-0.0757,0.826#

Penjelasan:

Pertanyaan ini dapat ditafsirkan dalam satu dari dua cara. Entah kita berharap hanya berurusan dengan garis nyata # RR #, Atau selain itu dengan sisa bidang kompleks # CC #. Penggunaan # x # sebagai variabel menyiratkan bahwa kita hanya berurusan dengan garis nyata, tetapi ada perbedaan yang menarik antara dua kasus yang akan saya perhatikan.

Domain dari # f # adalah seluruh himpunan numerik yang dianggap minus setiap titik yang menyebabkan fungsi tersebut meledak hingga tak terbatas. Ini terjadi ketika penyebut # x ^ 2 + 4 = 0 #, mis. kapan # x ^ 2 = -4 #. Persamaan ini tidak memiliki solusi nyata, jadi jika kita bekerja pada garis nyata, domain adalah seluruh interval # (- oo, + oo) #. Jika kita mempertimbangkan batas tak terbatas dari fungsi dengan membandingkan istilah terkemuka dalam pembilang dan penyebut, kita melihat bahwa pada kedua infinitas itu cenderung nol, dan kita bisa jika kita ingin menambahkan ini ke interval itu untuk menutupnya: # - oo, + oo #.

Persamaannya # x ^ 2 = -4 # Namun memiliki dua solusi kompleks, #x = + - 2i #. Jika kita mempertimbangkan seluruh bidang kompleks, maka domain adalah keseluruhan bidang minus dua poin ini: # CC # # {+ - 2i} #. Seperti halnya real, kita dapat menambahkan infinity dengan cara yang sama jika kita mau.

Untuk menentukan rentang # f # kita perlu menemukan nilai maksimum dan minimumnya di atas domainnya. Kami hanya akan berbicara dalam hal real sekarang, karena menentukan analog dengan ini di atas bidang kompleks pada umumnya merupakan jenis masalah yang berbeda yang membutuhkan alat matematika yang berbeda.

Ambil turunan pertama melalui aturan hasil bagi:

#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Fungsinya # f # mencapai titik ekstrem atau infleksi ketika #f '(x) = 0 #, mis. kapan # -x ^ 2-6x + 4 = 0 #.

Kami menyelesaikan ini dengan rumus kuadratik:

# x = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Jadi fungsinya memiliki dua titik tersebut.

Kami mengkarakterisasi poin-poin ini dengan memeriksa nilainya pada turunan kedua dari # f #, yang kami ambil, lagi melalui aturan hasil bagi:

#f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 +4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Kita tahu dari perhitungan akar turunan pertama kita bahwa istilah kedua dalam pembilang adalah nol untuk dua poin ini, karena menetapkan bahwa ke nol adalah persamaan yang baru saja kita selesaikan untuk menemukan angka input.

Jadi, perhatikan itu # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#f '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) +4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) ^ 3 #

# = (bar (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

Dalam menentukan tanda ungkapan ini, kami bertanya apakah # 26> 6sqrt (13) #. Kuadratkan kedua sisi untuk membandingkan: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Begitu # 26-6sqrt (13) # positif (dan # 26 + 6sqrt (13) # lebih dari itu).

Jadi tanda seluruh ekspresi turun ke #bar (+) # di depannya, yang artinya # x = -3-sqrt (13) # telah #f '' (x)> 0 # (dan karena itu fungsi minimum) dan # x = -3 + sqrt (13) # telah #f '' (x) <0 # (dan karena itu fungsi maksimum). Setelah mencatat bahwa fungsi cenderung nol pada infinitas, kita sekarang memahami bentuk fungsi sepenuhnya.

Jadi sekarang untuk mendapatkan rentang, kita harus menghitung nilai fungsi pada titik minimum dan maksimum # x = -3 + -sqrt (13) #

Ingat itu #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, dan sebagainya

#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

Jadi, melewati garis nyata # RR # fungsi #f (x) # mengambil nilai dalam kisaran # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, yang jika kami evaluasi secara numerik, datang ke #-0.0757,0.826#, untuk tiga angka penting, diperoleh pada # x # nilai-nilai #-6.61# dan #0.606# (3 detik)

Plot grafik fungsi sebagai cek kewarasan:

grafik {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4,816, -0,2, 1}

Menjawab:

Domain: #x dalam RR #

Jarak: #f (x) dalam warna -0.075693909, + 0.825693909 (putih) ("xxx") # (sekitar)

Penjelasan:

Diberikan

#color (white) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Domain

Itu domain semua nilai # x # untuk itu #f (x) # didefinisikan.

Untuk setiap fungsi yang dinyatakan sebagai polinomial dibagi dengan polinomial, fungsi tersebut didefinisikan untuk semua nilai # x # di mana polinomial pembagi tidak sama dengan nol. Sejak # x ^ 2> = 0 # untuk semua nilai # x #, # x ^ 2 + 4> 0 # untuk semua nilai # x #; itu adalah #x! = 0 # untuk semua nilai # x #; fungsi ini didefinisikan untuk semua Real (# RR #) nilai dari # x #.

Jarak

Itu jarak sedikit lebih menarik untuk dikembangkan.

Kami mencatat bahwa jika fungsi kontinu memiliki batas, turunan dari fungsi pada titik-titik yang menghasilkan batas tersebut sama dengan nol.

Meskipun beberapa langkah ini mungkin sepele, kami akan bekerja melalui proses ini dari prinsip-prinsip dasar untuk derivatif.

1 Aturan Eksponen untuk Derivatif

Jika #f (x) = x ^ n # kemudian # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Sum Rule untuk Derivatif

Jika #f (x) = r (x) + s (x) # kemudian # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #

3 Aturan Produk untuk Derivatif

Jika #f (x) = g (x) * h (x) # kemudian # (d f (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #

4 Aturan Rantai untuk Derivatif

Jika #f (x) = p (q (x)) # kemudian # (d f (x)) / (dx) = (dp (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Untuk fungsi yang diberikan #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

kami mencatat bahwa ini dapat ditulis sebagai #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Dengan 3 kita tahu

#color (putih) ("XXX") warna (merah) ((df (x)) / (dx)) = warna (kapur) ((d (x + 3)) / (dx)) * warna (biru) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + warna (biru) ((x + 3)) * warna (magenta) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #

Dengan 1 yang kita miliki

#color (white) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

dan oleh 2

#warna (putih) ("XXX") warna (kapur) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = warna (kapur) (1) #

Dengan 4 yang kita miliki

#color (putih) ("XXX") warna (magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

dan oleh 1 dan 2

#color (white) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

atau, disederhanakan:

#color (white) ("XXXXXXXX") = color (magenta) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

memberi kita

#color (putih) ("XXX") warna (merah) ((df (x)) / (dx)) = warna (hijau) 1 * warna (biru) ((x + 4) ^ (- 1)) + warna (biru) ((x + 3)) * warna (magenta) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

yang dapat disederhanakan sebagai

#color (putih) ("XXX") warna (merah) ((df (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

Sebagaimana dicatat (jalan kembali) ini berarti bahwa nilai batas akan terjadi ketika

#color (white) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (white) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

kemudian menggunakan rumus kuadratik (lihat ini, Socrates sudah mengeluh tentang panjangnya jawaban ini)

kapan

#color (white) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

Daripada memperpanjang penderitaan, kami hanya akan memasukkan nilai-nilai ini ke dalam kalkulator kami (atau spreadsheet, yang merupakan cara saya melakukannya) untuk mendapatkan batasan:

#color (white) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~~ -0.075693909 #

dan

#color (white) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ 0.825693909 #

Menjawab:

Cara yang lebih sederhana untuk menemukan rentang. Domainnya adalah #x dalam RR #. Kisarannya adalah #y dalam -0.076, 0,826 #

Penjelasan:

Domainnya adalah #x dalam RR # sebagai

#AA x dalam RR #, penyebutnya # x ^ 2 + 4> 0 #

Membiarkan # y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Perbanyak silang

#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Ini adalah persamaan kuadrat dalam # x #

Ada solusi jika diskriminan #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

Karena itu, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

Solusi dari ketidaksetaraan ini adalah

# y dalam (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #

#y dalam (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y dalam -0.076, 0,826 #

grafik {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}