Apa Radius of Convergence untuk seri daya ini? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Menjawab:

#aber z <1 #

Penjelasan:

# d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = jumlah_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k #

tapi

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1) #. Sekarang mempertimbangkan #aber z <1 # kita punya

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = 1 / (1 + z) # dan

#int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) #

sekarang membuat substitusi #z -> - z # kita punya

# -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z) #

jadi itu konvergen untuk #aber z <1 #

Ini adalah pertanyaan tentang seri geometri topik seri?

R = -2/7 s_oo = a / (1-r) untuk | r | <1 => (3a) / (1-r) = (a) / (1 - (- 2r)) => 3 / (1-r) = 1 / (1 + 2r) => 3 + 6r = 1 - r => r = -2/7

U_1, u_2, u_3, ... berada dalam Geometric progression (GP). Rasio umum istilah dalam seri adalah K. Sekarang tentukan jumlah seri u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) dalam bentuk K dan u_1?

Sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) Istilah umum deret ukur dapat ditulis: a_k = ar ^ (k-1) di mana a adalah suku awal dan r rasio umum. Jumlah ke n istilah diberikan oleh rumus: s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) warna (putih) () Dengan informasi yang diberikan dalam pertanyaan, rumus umum untuk u_k dapat berupa ditulis: u_k = u_1 K ^ (k-1) Perhatikan bahwa: u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) Jadi: sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) warna (putih) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k +1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) warna

Bagaimana Anda menemukan tiga istilah pertama dari seri Maclaurin untuk f (t) = (e ^ t - 1) / t menggunakan seri Maclaurin dari e ^ x?

Kita tahu bahwa seri Maclaurin dari e ^ x adalah sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!). Kita juga dapat menurunkan deret ini dengan menggunakan ekspansi Maclaurin dari f (x) = sum_ (n = 0) ^ ok ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) dan fakta bahwa semua turunan dari e ^ x masih e ^ x dan e ^ 0 = 1. Sekarang, cukup gantikan seri di atas menjadi (e ^ x-1) / x = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (jumlah_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X = jumlah_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) Jika Anda ingin indeks dimulai pada i = 0, cukup gantikan n = i + 1: = jumlah_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1) !) Sek