U_1, u_2, u_3, ... berada dalam Geometric progression (GP). Rasio umum istilah dalam seri adalah K. Sekarang tentukan jumlah seri u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) dalam bentuk K dan u_1?

Menjawab:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Penjelasan:

Istilah umum perkembangan geometrik dapat ditulis:

#a_k = a r ^ (k-1) #

dimana #Sebuah# adalah istilah awal dan # r # rasio umum.

Jumlah untuk # n # istilah diberikan oleh rumus:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#warna putih)()#

Dengan informasi yang diberikan dalam pertanyaan, rumus umum untuk # u_k # dapat ditulis:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Perhatikan bahwa:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Begitu:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = jumlah_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (white) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (putih) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # dimana # a = u_1 ^ 2K # dan #r = K ^ 2 #

#color (white) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (white) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #