Bagaimana Anda menyederhanakan 2cos ^ 2 (4θ) -1 menggunakan rumus sudut ganda?

Menjawab:

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 = cos (8 theta) #

Penjelasan:

Ada beberapa rumus sudut ganda untuk cosinus. Biasanya yang disukai adalah yang mengubah cosinus menjadi cosinus lain:

# cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

Kami benar-benar dapat mengambil masalah ini dalam dua arah. Cara paling sederhana adalah dengan mengatakan # x = 4 theta # jadi kita dapatkan

# cos (8 theta) = 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

yang cukup disederhanakan.

Cara biasa untuk pergi adalah untuk mendapatkan ini # cos theta #. Kita mulai dengan membiarkan # x = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2 theta)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 theta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 theta -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 theta - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Jika kita atur # x = cos theta # kita akan memiliki polinomial Chebyshev kedelapan dari jenis pertama, # T_8 (x) #, memuaskan

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

Saya menduga cara pertama mungkin adalah apa yang mereka kejar.