Bagaimana Anda menemukan nilai pasti cos58 menggunakan rumus penjumlahan dan penjumlahan, sudut ganda atau sudut setengah?

Menjawab:

Ini persis salah satu akar dari #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # dimana #T_n (x) # adalah # n #Chebyshev Polinomial dari jenis pertama. Itu salah satu dari empat puluh enam akar:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 557978099279468 x 788488487488487488 jika lebih besar dari 328? + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 12 + 97905899520 x ^ 12 - 70389862408 x 812 + 155.848 x ^ 4-968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46-404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42-7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38-28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 4188847629932 x 668? 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Penjelasan:

# 58 ^ circ # bukan kelipatan dari # 3 ^ circ #. Banyaknya # 1 ^ circ # itu bukan kelipatan dari # 3 ^ circ # tidak dapat dikonstruksikan dengan penggaris-sejajar dan kompas, dan fungsi trigonometri mereka bukan merupakan hasil dari beberapa komposisi bilangan bulat menggunakan penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan rooting persegi.

Itu tidak berarti kita tidak dapat menuliskan ungkapan untuk #cos 58 ^ circ #. Mari kita ambil tanda derajat artinya faktor # {2pi} / 360 #.

# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i sin 58 ^ circ #

#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i sin 58 ^ circ #

# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #

#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #

Tidak terlalu membantu.

Kita dapat mencoba menuliskan persamaan polinomial yang salah satu akarnya #cos 58 ^ circ # tapi mungkin akan terlalu besar untuk muat.

# theta = 2 ^ circ # aku s #180#th dari sebuah lingkaran. Sejak #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # itu berarti #cos 2 ^ circ # memuaskan

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #

Mari kita selesaikan ini # theta # pertama. #cos x = cos a # berakar # x = pm a + 360 ^ circ k, # bilangan bulat # k #.

# 180 ^ circ -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #

# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k atau theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #

Itu banyak akar, dan kita lihat # theta = 58 ^ circ # diantara mereka.

Polinomial #T_n (x) #, disebut Polinomial Chebyshev dari jenis pertama, memuaskan #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. Mereka memiliki koefisien bilangan bulat. Kita tahu beberapa yang pertama dari rumus sudut ganda dan tiga sudut:

#cos (0 theta) = 1 quad quad # begitu# quad quad T_0 (x) = 1 #

#cos (1 theta) = cos theta quad quad # begitu# quad quad T_1 (x) = x #

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # begitu # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad quad # begitu # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #

Ada hubungan rekursi yang bagus yang dapat kami verifikasi:

# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #

Jadi secara teori kita bisa menghasilkan ini sebesar-besarnya # n # seperti yang kita peduli.

Jika kita membiarkannya # x = cos theta, # persamaan kami

#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #

menjadi

#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #

Wolfram Alpha dengan senang hati memberi tahu kami apa itu. Saya akan menulis persamaan hanya untuk menguji rendering matematika:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 557978099279468 x 788488487488487488 jika lebih besar dari 328? + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 12 + 97905899520 x ^ 12 - 70389862408 x 812 + 155.848 x ^ 4-968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46-404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42-7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38-28889255702953984 x ^ 36 + 37917148110127104 x ^ 34 - 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 4188847629932 x 668? 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Ya, jawaban ini semakin panjang, terima kasih Sokrates. Anway, salah satu akar dari polinomial derajat ke-46 dengan koefisien integer adalah # cos 58 ^ circ #.