Memecahkan ini menggunakan riemann integral?

Menjawab:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # atau # sekitar 1.302054638 … #

Penjelasan:

Identitas terpenting nomor satu untuk menyelesaikan segala jenis masalah dengan produk tak terbatas mengubahnya menjadi masalah jumlah tak terbatas:

# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

TEKANAN:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Tetapi, sebelum kita dapat melakukan ini, kita harus terlebih dahulu berurusan dengan # frac {1} {n ^ 2} dalam persamaan dan btw mari kita sebut produk tak terbatas L:

# L = lim_ {n hingga + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n hingga + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n hingga + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

Sekarang kita dapat mengonversinya menjadi jumlah tak terbatas:

# L = lim_ {n hingga + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} } = lim_ {n hingga + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}}) #

terapkan properti logaritma:

# L = lim_ {n hingga + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

Dan menggunakan properti batas:

# L = exp lim_ {n hingga + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Sebut saja jumlah tak terbatas S:

# S = lim_ {n hingga + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Dan perlu diingat itu

# L = exp (S) #

Sekarang mari kita selesaikan pertanyaan Anda dengan mengonversinya dari a SUM RIEMANN ke a DEFINITE INTEGRAL:

Ingat definisi jumlah Riemann adalah:

TEKANAN:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n hingga + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #

Membiarkan

# lim_ {n hingga + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n hingga + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Sekarang, mari # f (x) = ln (1 + x ^ 2) dan a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Dengan demikian, b = 1 i.e.

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Karena itu,

# S = lim_ {n hingga + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Pecahkan untuk # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

gunakan integrasi oleh bagian:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

Membiarkan # u = ln (1 + x ^ 2) dan v = 1 #

Kemudian, gunakan aturan rantai dan turunan dari logaritma natural untuk mendapatkan # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

dan gunakan aturan daya untuk mendapatkan: # int 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Gunakan aturan pengurangan:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Gunakan aturan daya untuk integral pertama dan integral kedua adalah fungsi trigonometri standar # arctan (x) # (kebalikan dari fungsi tangen)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Demikian, # int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Sekarang selesaikan untuk integral yang pasti:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

kita tahu bahwa anti-turunannya # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, Demikian

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

Perhatikan bahwa Arktan (1) adalah 45 ° atau # frac { pi} {4} # (Ingat segitiga siku-siku khusus dengan panjang sisi 1,1, # sqrt {2} # dan sudut 45 °, 45 °, 90 °) dan juga # arctan (0) = 0 #

Demikian #S = ln (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac { pi} {2} #

atau # kira-kira 0,263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ { frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Karena itu solusinya adalah # lim_ {n hingga + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # atau # sekitar 1.302054638 … #