Berapa maksimum dan minimum lokal dari f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Menjawab:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Fungsi ini memiliki asimtot vertikal di # x = 2 #, pendekatan #1# dari atas seperti x pergi ke # + oo # (asimptot horisontal) dan pendekatan #1# dari bawah sebagai x pergi ke # -oo #. Semua derivatif tidak ditentukan pada # x = 2 # demikian juga. Ada satu minimum lokal di # x = 0 #, # y = 0 # (Semua masalah untuk asal!)

Perhatikan Anda mungkin ingin memeriksa matematika saya, bahkan yang terbaik dari kita menjatuhkan tanda negatif aneh dan ini adalah pertanyaan yang panjang.

Penjelasan:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Fungsi ini memiliki asimtot vertikal di # x = 2 #, karena penyebutnya nol ketika # x = 2 #.

Ia mendekat #1# dari atas seperti x pergi ke # + oo # (asimptot horisontal) dan pendekatan #1# dari bawah sebagai x pergi ke # -oo #, karena untuk nilai yang besar # x ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # dengan # x ^ 2> (x-2) ^ 2 # untuk #x> 0 # dan # x ^ 2 <(x-2) ^ 2 # untuk #x <0 #.

Untuk menemukan max / min, kita membutuhkan turunan pertama dan kedua.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Gunakan aturan hasil bagi!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2) ^ 4}) #.

Menggunakan aturan untuk kekuasaan dan aturan rantai yang kita dapatkan:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Kami sekarang rapi sedikit …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {df (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Sekarang turunan kedua, dilakukan seperti yang pertama.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

Itu jelek tapi kita hanya perlu mencolokkan dan perhatikan di mana itu berperilaku buruk.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Fungsi ini tidak terdefinisi di # x = 2 #, asimptot itu, tetapi terlihat bagus di tempat lain.

Kami ingin tahu apakah maks / mnt adalah …

kita atur # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # ini nol ketika pembilangnya nol dan jika penyebutnya tidak.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # atau # 4x (2-x) = 0 # Ini nol pada # x = 0 # dan # x = 2 #, tetapi kami tidak dapat memiliki maks / mnt jika turunan / fungsi tidak terdefinisi, jadi satu-satunya kemungkinan adalah # x = 0 #.

"tes turunan kedua"

Sekarang kita melihat turunan kedua, jelek karena …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Seperti fungsi dan turunan pertama ini tidak ditentukan di # x = 2 #, tapi terlihat bagus di tempat lain.

Kami pasang # x = 0 # ke # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, bukankan angka yang begitu indah untuk disambungkan?

#=128/256# semua itu untuk #1/2#

#1/2 >0# begitu # x = 0 # adalah minimum lokal.

Untuk menemukan nilai y kita perlu menghubungkannya ke fungsi.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Asalnya!