Berapa panjang tangga jika tangga dengan panjang L dilakukan secara horizontal di sekitar sudut dari aula selebar 3 kaki ke aula selebar 4 kaki?

Pertimbangkan segmen dari mana garis berjalan # (x, 0) # untuk # (0, y) # melalui sudut interior di #(4,3)#.

Panjang minimum segmen ini adalah panjang maksimum tangga yang dapat digerakkan di sekitar sudut ini.

Seandainya # x # berada di luar #(4,0)# oleh beberapa faktor penskalaan, # s #, dari 4, jadi

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

perhatikan # (1 + s) # muncul kemudian sebagai nilai yang harus diperhitungkan dari sesuatu.

Dengan segitiga serupa kita bisa melihatnya

#y = 3 (1 + 1 / s) #

Dengan Teorema Pythagoras, kita dapat mengekspresikan kuadrat dari panjang segmen garis sebagai fungsi dari # s #

# L ^ 2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

Biasanya kami akan mengambil turunan dari L (s) untuk menemukan minimum tetapi dalam kasus ini lebih mudah untuk mengambil turunan dari # L ^ 2 (s) #.

(Perhatikan bahwa jika #L (#) # minimum sebagai # s = s_0 #, kemudian # L ^ 2 (s) # juga akan menjadi minimum # s = s_0 #.)

Mengambil turunan pertama dari # L ^ 2 (s) # dan mengaturnya ke nol, kita mendapatkan:

# 3 ^ 2 (-2s ^ (- 3) - 2s ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2 - 2s) = 0 #

Mengalikan dengan # s ^ 3 # dan kemudian keluar # 2 (1 + s) #

memungkinkan kita untuk menyelesaikannya # s #

# s = (3/4) ^ (2/3) #

Memasukkan nilai ini kembali ke persamaan untuk # L ^ 2 (s) # dan mengambil akar kuadrat (saya menggunakan spreadsheet), kita dapatkan

panjang tangga maksimum # = 9,87 kaki # (sekitar)