Berapakah rentang matriks? + Contoh

Menjawab:

Lihat di bawah

Penjelasan:

Satu set vektor merentang suatu ruang jika setiap vektor lain dalam ruang tersebut dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari set spanning. Tetapi untuk sampai ke makna ini kita perlu melihat matriks yang terbuat dari vektor kolom.

Berikut sebuah contoh di #mathcal R ^ 2 #:

Biarkan matriks kami #M = ((1,2), (3,5)) #

Ini memiliki vektor kolom: #((1),(3))# dan #((2),(5))#, yang bebas linear, jadi matriksnya adalah non-singular yaitu tidak dapat dibalik dll.

Katakanlah kita ingin menunjukkan hal itu secara umum # (x, y) # berada dalam rentang 2 vektor ini, yaitu sehingga matriks mencakup semua #mathcal R ^ 2 #, lalu kami mencari untuk menyelesaikan ini:

#alpha ((1), (3)) + beta ((2), (5)) = ((x), (y)) #

Atau:

# ((1,2), (3,5)) ((alpha), (beta)) = ((x), (y)) #

Anda dapat menyelesaikan ini dengan sejumlah cara, mis. Mengurangi baris atau membalikkan ….. untuk mendapatkan:

#alpha = - 5x + 2thn, beta = 3x - y #

Jadi katakanlah kita ingin memeriksanya #(2,3)# ada dalam rentang matriks ini, M, kami menerapkan hasil yang baru saja kami dapatkan:

#alpha = -4 #

#beta = 3 #

Periksa ulang:

#-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))# !!

Pertimbangkan berikutnya matriks yang berbeda: #M '= ((1,2), (2,4)) #. Ini adalah tunggal karena vektor kolomnya, #((1),(2))# dan #((2),(4))#, tergantung linear. Matriks ini hanya membentang sepanjang arah #((1),(2))#.