Tolong jelaskan, ini adalah transformasi Linier atau tidak?

Menjawab:

Lihat di bawah

Penjelasan:

Trasformasi #T: V ke W # dikatakan linier jika memiliki dua sifat berikut:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # untuk setiap # v_1, v_2 dalam V #
• #T (cv) = cT (v) # untuk setiap #v dalam V # dan setiap skalar # c #

Perhatikan bahwa properti kedua mengasumsikan itu # V # tertanam dengan dua operasi penjumlahan jumlah dan skalar. Dalam kasus kami, jumlah adalah jumlah antara polinomial, dan perkaliannya adalah perkalian dengan bilangan real (saya berasumsi).

Ketika Anda memperoleh polinomial, Anda menurunkan derajatnya #1#, jadi jika Anda memperoleh polinomial derajat #4# dua kali, Anda akan mendapatkan polinomial derajat #2#. Perhatikan bahwa, ketika kita berbicara tentang himpunan keempat polinomial tingkat, yang kita maksud adalah himpunan semua polinomial tingkat paling banyak empat. Bahkan, polinomial tingkat empat umum

# a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Jika Anda ingin gelar dua jumlahnya banyak # 3 + 6x-5x ^ 2 #, misalnya, Anda cukup memilih

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

Dengan itu, mari kita mengidentifikasi ruang derajat polinomial # n # dengan # P_n #, dan tentukan operator kami #T: P_4 hingga P_2 # seperti yang #T (f (x)) = f '' (x) #

Mari kita buktikan properti pertama: anggap kita memiliki polinomial

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

dan

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Ini artinya # p_1 + p_2 # sama dengan

# (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 # #

#T (p_1 + p_2) # adalah turunan kedua dari polinomial ini, demikian juga halnya

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(Saya menerapkan dua kali aturan daya untuk derivasi: turunan kedua dari # x ^ n # aku s #n (n-1) x ^ {n-2} #)

Sekarang mari kita hitung #T (p_1) #, yaitu turunan kedua dari # p_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Demikian pula, #T (p_2) #, yaitu turunan kedua dari # p_2 #, aku s

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Jika Anda menjumlahkan ungkapan ini, Anda dapat melihat bahwa kami memilikinya

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

Properti kedua ditunjukkan dengan cara yang sama: diberi polinomial

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

kami memiliki, untuk bilangan real apa pun # c #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

turunan keduanya adalah demikian

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

yang lagi sama dengan komputasi #T (p) #, lalu kalikan semuanya dengan # c #, yaitu #T (cp) = cT (p) #