Biarkan vec (x) menjadi vektor, sehingga vec (x) = ( 1, 1), "dan biarkan" R (θ) = [(costheta, -sintheta), (sintheta, costheta)], yaitu Rotation Operator. Untuk theta = 3 / 4pi temukan vec (y) = R (theta) vec (x)? Buat sketsa yang menunjukkan x, y, dan θ?

Ini ternyata merupakan rotasi berlawanan arah jarum jam. Bisakah Anda menebak berapa derajat?

Membiarkan #T: RR ^ 2 | -> RR ^ 2 # menjadi transformasi linear, di mana

#T (vecx) = R (theta) vecx, #

#R (theta) = (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta), #

#vecx = << -1,1 >>. #

Perhatikan bahwa transformasi ini direpresentasikan sebagai matriks transformasi #R (theta) #.

Apa artinya itu sejak itu # R # adalah matriks rotasi yang mewakili transformasi rotasi, kita dapat berkembang biak # R # oleh # vecx # untuk mencapai transformasi ini.

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx << -1,1 >> #

Untuk sebuah # MxxK # dan # KxxN # matriks, hasilnya adalah #warna (hijau) (MxxN) # matriks, dimana # M # adalah baris dimensi dan # N # adalah kolom dimensi. Itu adalah:

# (y_ (11), y_ (12),., y_ (1n)), (y_ (21), y_ (22), …, y_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (y_ (m1), y_ (m2),., y_ (mn)) #

# = (R_ (11), R_ (12),., R_ (1k)), (R_ (21), R_ (22), …, R_ (2k)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (R_ (m1), R_ (m2), …, R_ (mk)) xx (x_ (11), x_ (12), …,, x_ (1n)), (x_ (21), x_ (22), …, x_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (x_ (k1), x_ (k2), …, x_ (kn)) #

Karena itu, untuk a # 2xx2 # matriks dikalikan dengan a # 1xx2 #, kita harus memindahkan vektor untuk mendapatkan # 2xx1 # vektor kolom, memberi kita jawaban yang a # mathbf (2xx1) # vektor kolom.

Mengalikan keduanya memberi:

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx (- 1), (1) #

# = (-costheta - sintheta), (- sintheta + costheta) #

Selanjutnya, kita bisa pasang #theta = (3pi) / 4 # (yang saya asumsikan adalah sudut yang benar) untuk mendapatkan:

#warna (biru) (T (vecx) = R (theta) vecx) #

# = R (theta) (- 1), (1) #

# = (-cos ((3pi) / 4) - sin ((3pi) / 4)), (- sin ((3pi) / 4) + cos ((3pi) / 4)) #

# = (-cos135 ^ @ - sin135 ^ @), (- sin135 ^ @ + cos135 ^ @) #

# = (- (- sqrt2 / 2) - sqrt2 / 2), (- sqrt2 / 2 + (-sqrt2 / 2)) # #

# = warna (biru) ((0), (- sqrt2)) #

Sekarang, mari gambarkan ini untuk melihat seperti apa bentuknya. Saya dapat mengatakan bahwa itu adalah rotasi berlawanan arah jarum jam, setelah menentukan vektor yang ditransformasikan.

Memang, rotasi berlawanan arah jarum jam oleh #135^@#.

TANTANGAN: Mungkin Anda bisa mempertimbangkan apa yang terjadi ketika matriksnya # (costheta, sintheta), (- sintheta, costheta) # sebagai gantinya. Apakah Anda pikir itu akan searah jarum jam?

Biarkan veca = <- 2,3> dan vecb = <- 5, k>. Temukan k sehingga veca dan vecb akan menjadi orthogonal. Temukan k sehingga a dan b akan ortogonal?

Vec {a} quad "dan" quad vec {b} quad "akan menjadi tepat orthogonal ketika:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad k = -10 / 3. # "Ingat itu, untuk dua vektor:" qquad vec {a}, vec {b} qquad "kami memiliki:" qquad vec {a} quad "dan" quad vec {b} qquad quad " bersifat ortogonal " qquad qquad hArr qquad qquad vec {a} cdot vec {b} = 0." Dengan demikian: " qquad <-2, 3> quad" dan " quad <-5, k> qquad quad "adalah orthogonal" qquad qquad hArr qquad qquad <-2, 3> cdot <-5, k> = 0 qquad

Biarkan f (x) = (x + 2) / (x + 3). Temukan persamaan garis singgung yang melewati titik (0,6)? Buat sketsa solusinya?

Garis singgung adalah 25x-9y + 54 = 0 dan y = x + 6 Biarkan kemiringan garis singgung menjadi m. Persamaan tangen kemudian adalah y-6 = mx atau y = mx + 6 Sekarang mari kita lihat titik perpotongan dari garis singgung ini dan diberi kurva y = (x + 2) / (x + 3). Untuk ini menempatkan y = mx + 6 di ini kita mendapatkan mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) atau (mx + 6) (x + 3) = x + 2 yaitu mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 atau mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 Ini harus memberikan dua nilai x yaitu dua titik persimpangan, tetapi garis singgung memotong kurva hanya pada satu titik. Oleh karena itu jika y = mx + 6 adalah garis singgung, kita

Biarkan sudut antara dua vektor bukan nol A (vektor) dan B (vektor) menjadi 120 (derajat) dan hasilnya adalah C (vektor). Lalu manakah dari yang berikut ini yang benar?

Opsi (b) bb A * bb B = abs bbA abs bbB cos (120 ^ o) = -1/2 abs bbA abs bbB bbC = bbA + bbB C ^ 2 = (bbA + bbB) * (bbA + bbB) = A ^ 2 + B ^ 2 + 2 bbA * bb B = A ^ 2 + B ^ 2 - abs bbA abs bbB qquad abs persegi (bbA - bbB) ^ 2 = (bbA - bbB) * (bbA - bbB) = A ^ 2 + B ^ 2 - 2bbA * bbB = A ^ 2 + B ^ 2 + abs bbA abs bbB qquad triangle abs (bbA - bbB) ^ 2 - C ^ 2 = segitiga - persegi = 2 abs bbA abs bbB:. C ^ 2 lt abs (bbA - bbB) ^ 2, qquad bbA, bbB ne bb0:. abs bb C lt abs (bbA - bbB)