Rentang e ^ x / ([x] +1), x> 0 dan di mana [x] menunjukkan bilangan bulat terbesar?

Menjawab:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Penjelasan:

Saya berasumsi # x # adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari # x #. Dalam jawaban berikut, kami akan menggunakan notasi #ceil (x) #, Yang disebut fungsi langit-langit.

Membiarkan #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. Sejak # x # benar-benar lebih besar dari #0#, ini berarti bahwa domain # f # aku s # (0, + oo) #.

Sebagai #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # dan sejak itu # e ^ x # selalu positif, # f # selalu lebih besar dari #0# dalam domainnya. Penting untuk dicatat itu # f # aku s tidak injeksi dan juga tidak kontinu pada bilangan alami. Untuk membuktikan ini, biarkan # n # menjadi bilangan alami:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Karena #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Demikian pula, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Karena batas sisi kiri dan kanan tidak sama, # f # tidak kontinu pada bilangan bulat. Juga, #L> R # untuk semua #n di NN #.

Sebagai # f # meningkat dalam interval yang dibatasi oleh bilangan bulat positif, "nilai terkecil" per interval akan sama # x # mendekati batas bawah dari kanan.

Oleh karena itu, nilai minimum # f # akan menjadi

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Ini adalah batas bawah kisaran # f #.

Meskipun tidak benar untuk mengatakan itu # f # meningkat, itu dalam arti, tanpa gejala, mendekati tak terhingga - sebagaimana dibuktikan di bawah ini:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

Sebagai #ceilx> = x #, ada a #delta <1 # seperti yang # ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Membiarkan #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# e ^ u # meningkat secara eksponensial sementara # u # melakukannya secara linear, artinya

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Oleh karena itu kisaran # f # aku s

# "Range" = (1/2, oo) #

Interval terbuka di sebelah kiri karena #http: // 2 # masih #f (0) #, dan sebagai # x # pendekatan #0^+#, #f (x) # hanya pendekatan #http: // 2 #; itu tidak pernah benar-benar sama.